Enunciado

Uma partícula desloca-se sobre o eixo x com velocidade v t = 2 t - 3   ,   t ≥ 0 . Sabe-se que no instante t = 0 a partícula encontra-se na posição x = 5 . Determine o instante em que a partícula estará mais próxima da origem.

Passo 1

Fala aí! Como vai? 😊

Nesse problema queremos descobrir o instante que a partícula passa mais próximo da origem sabendo que essa partícula se desloca sob o eixo x com velocidade v t = 2 t - 3 e em t = 0 a partícula está em x = 5

Tem ideia de como fazer isso? 😬

Pessoal, sabemos que a velocidade v será a derivada da posição x no tempo, ou seja, se temos a velocidade e queremos saber a posição, basta fazermos o caminho inverso... que seria integrar v t .

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Se

v = d x d t

Como v t = 2 t - 3 , teremos:

x ' t = 2 t - 3

E portanto,

x t = ∫ 2 t - 3 d t = t 2 - 3 t + k

Para descobrir a constante k , vamos utilizar a informação de que x = 5 quando t = 0 :

x 0 = 5

0 2 - 3 0 + k = 5

k = 5

Logo, a posição da partícula no instante t será:

x t = t 2 - 3 t + 5

Bacana, não é? 😊

Passo 3

Para que a partícula se aproxime o máximo da origem, queremos que x t se aproxime de 0 . Como se trata de uma função quadrática sempre positiva (não tem raízes reais), o ponto mais próximo da origem será o ponto de mínimo da função, dado por:

t = - b 2 a = - - 3 2 1

t = 3 2

E aí? O que achou? Responde Aí! 😉

Resposta

t = 3 2

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3- Calcule.a) ∫ e 2 xd x
m) ∫ 1 x + e x d x ,x0
l) ∫ s e n 3 x + cos ⁡ 5 x d x
i) ∫ e x + e - x 2d x
o) ∫ cos ⁡ x 3 d x