d) ∫ t g 3 3 x   d x  

Passo 1

O problema nos forneceu essa integral,

I = ∫ t g 3 3 x   d x

A gente não consegue resolvê-la direto porque temos uma tangente ao cubo! A estratégia é então usar uma identidade trigonométrica para deixar essa integral com uma cara mais tranquila de se resolver.

Antes de começar a resolver, vamos lembrar duas coisinhas. A primeira é a nossa identidade trigonométrica:

1 + t g 2 x = sec 2 ⁡ x

A segunda é uma derivada,

t g x ' = sec 2 ⁡ x

Vamos lá!

Passo 2

Agora temos que fazer aparecer o sec 2 ⁡ 3 x   e daí fazer uma substituição simples para resolver a integral!

Nossa integral era o seguinte:

I = ∫ t g 3 3 x   d x = ∫ t g 2 3 x ⋅ t g 3 x d x

Usando nossa identidade trigonométrica, temos:

1 + t g 2 3 x = sec 2 ⁡ 3 x

Então vamos trocar nosso t g 2 3 x por sec 2 ⁡ 3 x - 1 !!

I = ∫ sec 2 ⁡ 3 x - 1 ⋅ t g 3 x d x = ∫ t g 3 x ⋅ sec 2 ⁡ 3 x d x - ∫ t g 3 x d x

Agora vamos fazer a nossa substituição simples!

Passo 3

Para resolver a integral,

∫ t g 3 x ⋅ sec 2 ⁡ 3 x d x

Vamos chamar,

u = t g 3 x

d u = 3 sec 2 ⁡ 3 x d x → d u 3 = sec 2 ⁡ 3 x d x

Substituindo na integral,

∫ u d u 3 = 1 3 u 2 2 = u 2 6

Voltando para variável x , ficamos com

∫ t g 3 x ⋅ sec 2 ⁡ 3 x d x = t g 3 3 x 6

Passo 4

Agora vamos para segunda integral,

∫ t g 3 x d x

Fazendo a mesma substituição,

u = t g 3 x

d u = 3 sec 2 ⁡ 3 x d x → d u 3 sec 2 ⁡ 3 x = d x

Ficamos com,

∫ u . d u 3 sec 2 ⁡ 3 x

Opaaa, temos ainda x na integral. Mas lembra dessa identidade

1 + t g 2 3 x = sec 2 ⁡ 3 x

Então,

∫ u . d u 3 1 + t g 2 3 x

E que fizemos, u = t g 3 x . Então,

1 3 ⋅ ∫ u 1 + u 2 d u

Chamando 1 + u 2 = t :

2 ⋅ u   d u = d t →   u   d u = d t 2

Logo,

1 3 ⋅ ∫ u 1 + u 2 d u = 1 3 ⋅ ∫ 1 1 + u 2 u d u = 1 3 ⋅ ∫ 1 t d t 2  

Essa é pra acabar:

1 6 ⋅ l n t = 1 6 ⋅ l n 1 + u 2

Voltando, para x , ∫ t g 3 x d x = 1 6 ⋅ l n 1 + t g 2 3 x

Passo 5

Juntando as integrais e adicionando a nossa constante de integração:

I = ∫ t g 3 3 x   d x = ∫ t g 3 x ⋅ sec 2 ⁡ 3 x d x - ∫ t g 3 x d x

I = t g 3 3 x 6 - 1 6 ⋅ l n 1 + t g 2 3 x + C

Aplicando novamente a nossa identidade trigonométrica, podemos transformar o argumento do logaritmo em secante:

I = t g 2 ( 3 x ) 6 - 1 6 ⋅ l n sec 2 ⁡ ( 3 x ) + C

Pra deixar com a cara do gabarito é só fazer assim:

Usa a regra do peteleco lá no l n sec 2 ⁡ ( 3 x )

I = sec 2 ⁡ 3 x - 1 6 - 1 6 ⋅ 2 ⋅ l n sec ⁡ 3 x + c = sec 2 ⁡ 3 x 6 - 1 6 - 1 3 ⋅ l n 1 cos ⁡ 3 x + c

Colocando o - 1 6 na constante e arrumando o l n 1 cos ⁡ 3 x :

I = sec 2 ⁡ 3 x 6 + 1 3 ⋅ l n cos ⁡ 3 x + c

Resposta

sec 2 ⁡ 3 x 6 + 1 3 ⋅ l n cos ⁡ 3 x + c

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