c) ∫ c o s e c 2 x d x = - c o t g ( x ) + c

Passo 1

∫ c o s e c 2 x d x = - c o t g ( x ) + c

Para verificarmos que a expressão acima é verdadeira, basta derivamos o resultado da nossa integral e derivarmos, se for igual ao que queremos integrar, então é verdade!

Passo 2

Agora vamos verificar!

Lembrete: Nesse momento, é importante não esquecer da regra da cadeia.

I = - c o t g x + c = - cos ⁡ x s e n x + c

Não esquece: u v ' = u ' ⋅ v - u ⋅ v ' v 2

Derivando:

I ' = - ( - s e n x ⋅ s e n x - cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ) s e n 2 x = ( s e n x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ) s e n 2 x

Logo,

I ' = se n 2 x + cos 2 ⁡ x s e n 2 x

Como se n 2 x + cos 2 ⁡ x = 1 :

I ' = 1 s e n 2 x

Passo 3

Portanto, temos:

I ' = 1 s e n 2 x = c o s e c 2 x

Como I ' deu igual ao que queremos integra, então a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados