Seja y = t \* e^t . Verifique que d^2y/dt^2 - 2 \* dy/dt + y = 0 .

Passo 1

Para fazer a verificação vamos encontrar a primeira derivada d y d t e a segunda derivada d 2 y d t 2 e substituir em:

d 2 y d t 2 - 2 d y d t + y = 0

Passo 2

Vamos analisar a função, aqui vamos usar a regra do produto para achar d y d t :

h t g t ' = h ' t g t + g ' t h t

Temos que:

h t = t

e

g t = e t

Assim:

d y d t = d d t t e t = h ' t g t + g ' t h t = t ' ⋅ e t + e t ' ⋅ t

Passo 3

Vamos usar a regra do polinômio e da função exponencial:

t n ' = n t n - 1

e f t ' = e f t ⋅ f ( t ) '

Assim:

d y d t = t ' ⋅ e t + e t ' ⋅ t = t 1 - 1 ⋅ e t + e t ⋅ t ' ⋅ t = t 0 ⋅ e t + e t ⋅ t 1 - 1 ⋅ t = 1 ⋅ e t + e t ⋅ t 0 ⋅ t = e t + e t ⋅ 1 ⋅ t = e t 1 + t

Passo 4

Agora vamos achar d 2 y d x 2 , e vamos usar mais uma regra, a da função constante:

c ' = 0

Aplicando ficamos com:

d 2 y d t 2 = d d t d y d t = d d t e t 1 + t ' = e t ' ⋅ 1 + t + 1 + t ' ⋅ e t = e t ⋅ t ' ⋅ 1 + t + 0 + t 1 - 1 ⋅ e t = e t ⋅ t 1 - 1 ⋅ 1 + t + t 0 ⋅ e t = e t ⋅ t 0 ⋅ 1 + t + 1 ⋅ e t = e t ⋅ 1 ⋅ 1 + t + e t = e t 1 + t + e t = e t 1 + t + 1 = e t 2 + t

Passo 5

Vamos agora substituir as derivadas:

d 2 y d t 2 - 2 d y d t + y = 0 → e t 2 + t - 2 e t 1 + t + t e t = 0 → 2 e t + t e t - 2 e t - 2 t e t + t e t = 0 → 0 = 0

Pronto, verificamos!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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