m) y = x^3 / (1 + x^2)

Passo 1

Para sabermos a concavidade e os pontos de inflexão é necessário derivar duas vezes a função e depois fazer o estudo do sinal. Então vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função:

y´= 3 x 2 1 + x 2 -   2 x 4 1 + x 2 2 = 3 x 2 +   x 4 1 + x 2 2 →   y´´= 6 x   +   4 x 3 1   +   x 2 2 –   2   1 +   x 2   2 x   3 x 2 +   x 4 1 + x 2 4 = - 2 x 3 +   6 x 1   +   x 2 3

Passo 3

Agora, vamos estudar o sinal da função que encontramos:

y´´ = 0 -   2 x 3 +   6 x   = 0 2 x   -   x 2 +   3 = 0 x = 0 , x = + √ 3 e x = - √ 3

Logo,

y 3 , 0) U ( + √ 3 , +   ∞ )

y > 0 : (-   ∞ , - √ 3 ) U ( 0 , 3 )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para cima no intervalo:

(-   ∞ , - √ 3 ) U ( 0 , 3 )

Com base nisso podemos concluir que a função é côncava para baixo no intervalo:

(- √ 3 , 0) U ( + √ 3 , +   ∞ )

O ponto de inflexão é onde a função muda a sua concavidade, nesse caso são:

0 , + √ 3 e - √ 3

Resposta

côncava para cima no intervalo: (-   ∞ , - √ 3 ) U ( 0 , 3 )

côncava para baixo no intervalo: (- √ 3 , 0) U ( + √ 3 , +   ∞ )

Pontos de inflexão: 0 , + √ 3 e - √ 3

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