b) ∫ c o s e c x d x = - ln ⁡ c o s e c x + c o t g x + c

Passo 1

∫ c o s e c x d x = - ln ⁡ c o s e c x + c o t g x + c

Para verificarmos que a expressão acima é verdadeira, basta derivamos o resultado da nossa integral e derivarmos, se for igual ao que queremos integrar, então é verdade!

Passo 2

Agora vamos verificar!

Lembrete: Nesse momento, é importante não esquecer da regra da cadeia.

I = - ln ⁡ c o s e c x + c o t g x + c

Derivando:

I ' = - 1 c o s e c x + c o t g x ⋅ c o s e c x + c o t g x ' + 0

Logo,

I ' = - 1 c o s e c x + c o t g x ⋅ - c o s s e c x ⋅ c o t g x - c o s s e c 2 ( x )

I ' = c o s s e c x c o t g x + c o s s e c x c o s s e c x + c o t g x ⋅ - c o s s e c x ⋅ c o t g x - c o s s e c 2 ( x )

Logo,

I ' = c o s s e c x

Como I ' deu igual ao que queremos integra, então a expressão é verdadeira!

Resposta

I ' = c o s s e c x

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