d) ∫ c o t g 2 x d x = - c o t g x - x + c

Passo 1

∫ c o t g 2 x d x = - c o t g x - x + c

Para verificarmos que a expressão acima é verdadeira, basta derivamos o resultado da nossa integral e derivarmos, se for igual ao que queremos integrar, então é verdade!

Passo 2

Agora vamos verificar!

Lembrete: Nesse momento, é importante não esquecer da regra da cadeia.

I = - c o t g x - x + c = - cos ⁡ x s e n x - x + c

Não esquece: u v ' = u ' ⋅ v - u ⋅ v ' v 2

Derivando:

I ' = - ( - s e n x ⋅ s e n x - cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ) s e n 2 x - 1 = ( s e n x ⋅ s e n x + cos ⁡ x ⋅ cos ⁡ x ) s e n 2 x - 1

Logo,

I ' = se n 2 x + cos 2 ⁡ x s e n 2 x - 1

Agora pra acabar:

I ' = se n 2 x + cos 2 ⁡ x - s e n 2 ( x ) s e n 2 x = cos 2 ⁡ x s e n 2 ( x )  

Passo 3

Portanto, temos:

I ' = cos 2 ⁡ x s e n 2 ( x ) = c o t g 2 x

Como I ' deu igual ao que queremos integra, então a expressão é verdadeira!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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