Responde Aí

Enunciado

Verifique as identidades onde x > 0 e y > 0 :

a)   x - y = ( x - y ) ( x + y )

b) x - y = ( x 4 - y 4 ) ( x 3 4 + x 2 y 4 + x y 2 4 + y 3 4 )

Passo 1

Faaaaala aí tudo bem?

Bora lá resolver MAIS UM exercício... é talvez você já esteja cansado só de pensar, mas eu te garanto que esse aqui vai ser moleza, rapidinho.

Só para lembrar, o termo x 2 é o mesmo que x , esse tipo de igualdade é valido para x > 0 e y > 0 .

No item (a) perceba que que temos aqui um caso de produtos notáveis, e que podemos usar aquele macete laáaaaaaaaaaaaa do ensino fundamental (a regra do chuveirinho, ou a famosa propriedade distributiva). Então vamos lá, multiplicar os termos do primeiro conjunto de parênteses pelo segundo:

( x - y ) ( x + y )

= x x + x y - x y - y y

Perceba que aqui podemos somar termos com iguais com sinais contrários:

= x 2 - y 2

Lembrando que uma raiz quadrada elevada ao quadrado nos dá o que mesmo? Isso aí, o próprio número! Tranquilo né, isso significa que teremos aqui:

x - y = x - y

Vamos para o próximo?

Passo 2

Viu o que aconteceu ali encima né? Agora, no item b faremos a mesmíssima coisa, só que com alguuuuuuns termos a mais, se é que você me entende.

Vou colocar o item aqui novamente, mas sem estresse... Continua comigo que você vai ver como é bem mais simples do que parece:

x - y = ( x 4 - y 4 ) ( x 3 4 + x 2 y 4 + x y 2 4 + y 3 4 )

Vamos aplicar a propriedade distributiva mais uma vez, bora lá?

= x 4 - y 4 x 3 4 + x 2 y 4 + x y 2 4 + y 3 4

= x 4 . x 3 4 + x 4 . x 2 y 4 + x 4 . x y 2 4 + x 4 . y 3 4 - x 3 4 y 4 - y 4 . x 2 y 4 - y 4 . x y 2 4 - y 4 . y 3 4

Isso garante que tenhamos:

= x . x 3 4 + x . x 2 y 4 + x . x y 2 4 + x y 3 4 - y x 3 4 - y x 2 y 4 - y x y 2 4 - y . y 3 4

Simplificando, teremos:

= x 4 4 + x 3 y 4 + x 2 y 2 4 + x y 3 4 - x 3 y 4 - x 2 y 2 4 - x y 3 4 - y 4 4

Simplificando novamente teremos:

= x 4 4 - y 4 4 = x - y

Então:

x - y = x - y

Viu só? Conseguimos!!

Resposta

x - y = x - y

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