Enunciado

5 - Verifique as identidades onde x > 0 e y > 0 :

a) x - y = ( sqrt(x) - sqrt(y) ) ( sqrt(x) + sqrt(y) )

b) x - y = ( root(4)(x) - root(4)(y) ) ( root(4)(x^3) + root(4)(x^2 y) + root(4)(x y^2) + root(4)(y^3) )

Passo 1

Faaaaala aí, tudo bem?

Bora lá resolver MAIS UM exercício... é talvez você já esteja cansado só de pensar, mas eu te garanto que esse aqui vai ser moleza, rapidinho.

O que temos que fazer nesse problema é verificar que as igualdades dadas no enunciado são válidas sabendo que x > 0 e y > 0

Só para lembrar, o termo sqrt(x^2) é o mesmo que |x| , esse tipo de igualdade é valido para x > 0 e y > 0 .

Vamos tentar reescrever o lado direito das igualdades para verificar as igualdades...

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

No item (a) perceba que que temos aqui um caso de produtos notáveis, e que podemos usar aquele macete laáaaaaaaaaaaaa do ensino fundamental (a regra do chuveirinho, ou a famosa propriedade distributiva). Então vamos lá, multiplicar os termos do primeiro conjunto de parênteses pelo segundo:

( sqrt(x) - sqrt(y) ) ( sqrt(x) + sqrt(y) )

= sqrt(x) sqrt(x) + sqrt(x) sqrt(y) - sqrt(x) sqrt(y) - sqrt(y) sqrt(y)

Perceba que aqui podemos somar termos com iguais com sinais contrários:

= (sqrt(x))^2 - (sqrt(y))^2

Lembrando que uma raiz quadrada elevada ao quadrado nos dá o que mesmo? Isso aí, o próprio número! Tranquilo né, isso significa que teremos aqui:

x - y = x - y

Vamos para o próximo?

Passo 3

Viu o que aconteceu ali encima né? Agora, no item b faremos a mesmíssima coisa, só que com alguuuuuuns termos a mais, se é que você me entende.

Vou colocar o item aqui novamente, mas sem estresse... Continua comigo que você vai ver como é bem mais simples do que parece:

x - y = ( root(4)(x) - root(4)(y) ) ( root(4)(x^3) + root(4)(x^2 y) + root(4)(x y^2) + root(4)(y^3) )

Vamos aplicar a propriedade distributiva mais uma vez, bora lá?

= (root(4)(x) - root(4)(y)) (root(4)(x^3) + root(4)(x^2 y) + root(4)(x y^2) + root(4)(y^3))

= root(4)(x) . root(4)(x^3) + root(4)(x) . root(4)(x^2 y) + root(4)(x) . root(4)(x y^2) + root(4)(x) . root(4)(y^3) - root(4)(x^3) root(4)(y) - root(4)(y) . root(4)(x^2 y) - root(4)(y) . root(4)(x y^2) - root(4)(y) . root(4)(y^3)

Isso garante que tenhamos:

= root(4)(x . x^3) + root(4)(x . x^2 y) + root(4)(x . x y^2) + root(4)(x y^3) - root(4)(y x^3) - root(4)(y x^2 y) - root(4)(y x y^2) - root(4)(y . y^3)

Simplificando, teremos:

= root(4)(x^4) + root(4)(x^3 y) + root(4)(x^2 y^2) + root(4)(x y^3) - root(4)(x^3 y) - root(4)(x^2 y^2) - root(4)(x y^3) - root(4)(y^4)

Simplificando novamente teremos:

= root(4)(x^4) - root(4)(y^4) = x - y

Então:

x - y = x - y

Viu só? Conseguimos!!

Resposta

x - y = x - y

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