Enunciado

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Sejam x , y dois reais quaisquer com 0 < x < y . Prove

y - x > y - x

Passo 1

Para resolvermos essa questão, vamos ter que trabalhar com outras relações entre x e y até provar que a inequação é verdadeira.

O truque aqui será desenvolver a seguinte inequação:

x x - y < 0

Note que ela é verdadeira, pois x > 0 e x < y . Vamos desenvolver:

x 2 - x y < 0

x 2 < x y

Como x > 0 e y > 0 , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

x < x y

Essa inequação ainda não é igual a do enunciado, mas já estamos mais próximo, então vamos seguindo até chegar na expressão do enunciado!

(Pessoal, vamos acompanhando com calma, que no último passo vai ficar claro o porquê dessas manipulações)

Passo 2

Agora, vamos tentar transformar essa inequação em quadrado perfeito!

Vamos começar multiplicando a inequação por - 2 (lembre-se de inverter < para > ):

- 2 x > - 2 x y

Depois, somamos y + x nos dois lados:

y + x - 2 x > y + x - 2 x y

y - x > y - 2 x y + x

Perceba que na direita temos um quadrado perfeito:

y - 2 x y + x = y - x 2

Substituindo na fórmula,

y - x > y - x 2

Só resta tirar a raiz quadrada:

y - x > y - x

Se y > x > 0 , então y > x , logo:

y - x > y - x

Passo 3

Você pode estar pensando: de onde tirar todas essas ideias malucas pra provar o resultado final? Como saber de qual inequação partir e quais manipulações fazer?

Bom, você pode ser um gênio, ou pode fazer como eu: desenvolver a inequação que quero provar e depois verificar o que posso escrever de trás pra frente. Olha como faz sentido:

y - x > y - x

y - x > y - x 2

y - x > y - 2 x y + x

- 2 x > - 2 x y

x < x y

x 2 < x y

x 2 - x y < 0

x x - y < 0

Viu?!

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