Enunciado

Sejam x , y dois reais quaisquer com 0 < x < y . Prove

sqrt(y - x) > sqrt(y) - sqrt(x)

Passo 1

Para resolvermos essa questão, vamos ter que trabalhar com outras relações entre x e y até provar que a inequação é verdadeira.

O truque aqui será desenvolver a seguinte inequação:

x (x - y) < 0

Note que ela é verdadeira, pois x > 0 e x < y . Vamos desenvolver:

x^2 - x y < 0

x^2 < x y

Como x > 0 e y > 0 , tiramos a raiz quadrada dos dois lados:

x < sqrt(x y)

Essa inequação ainda não é igual a do enunciado, mas já estamos mais próximo, então vamos seguindo até chegar na expressão do enunciado!

(Pessoal, vamos acompanhando com calma, que no último passo vai ficar claro o porquê dessas manipulações)

Passo 2

Agora, vamos tentar transformar essa inequação em quadrado perfeito!

Vamos começar multiplicando a inequação por - 2 (lembre-se de inverter < para > ):

- 2 x > - 2 sqrt(x y)

Depois, somamos y + x nos dois lados:

y + x - 2 x > y + x - 2 sqrt(x y)

y - x > y - 2 sqrt(x y) + x

Perceba que na direita temos um quadrado perfeito:

y - 2 sqrt(x y) + x = (sqrt(y) - sqrt(x))^2

Substituindo na fórmula,

y - x > (sqrt(y) - sqrt(x))^2

Só resta tirar a raiz quadrada:

sqrt(y - x) > |sqrt(y) - sqrt(x)|

Se y > x > 0 , então sqrt(y) > sqrt(x) , logo:

sqrt(y - x) > sqrt(y) - sqrt(x)

Passo 3

Você pode estar pensando: de onde tirar todas essas ideias malucas pra provar o resultado final? Como saber de qual inequação partir e quais manipulações fazer?

Bom, você pode ser um gênio, ou pode fazer como eu: desenvolver a inequação que quero provar e depois verificar o que posso escrever de trás pra frente. Olha como faz sentido:

sqrt(y - x) > sqrt(y) - sqrt(x)

y - x > (sqrt(y) - sqrt(x))^2

y - x > y - 2 sqrt(x y) + x

- 2 x > - 2 sqrt(x y)

x < sqrt(x y)

x^2 < x y

x^2 - x y < 0

x (x - y) < 0

Viu?!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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