y = (1 + 1/x)^x

Passo 1

Utilizando a regrada da derivada de exponenciais:

d y d x = 1 + 1 x x d d x x ln ⁡ 1 + 1 x  

Pegando o termo com a derivada e utilizando a regra do produto:

d d x x ln ⁡ 1 + 1 x = ln ⁡ 1 + 1 x + x 1 1 + 1 x   d d x 1 + 1 x

d d x x ln ⁡ 1 + 1 x = ln ⁡ 1 + 1 x + x 1 1 + 1 x   - 1 x 2  

d d x x ln ⁡ 1 + 1 x = ln ⁡ 1 + 1 x - 1 x 1 1 + 1 x

Agora, juntando:

d y d x = 1 + 1 x x   ⁡ l n 1 + 1 x - 1 x 1 1 + 1 x    

Resposta

d y d x = 1 + 1 x x   ⁡ l n 1 + 1 x - 1 x 1 1 + 1 x    

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