Calcule f'(x) , pela definição.

g) f(x) = x / (x + 1)

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Vamos ter que resolver essa derivada usando a definição! Para quem não lembra, a fórmula é essa:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Aplicando para nossa função, ficamos com

Agora sim vou lembrar da definição de derivada f ' ( x ) :

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h x + h + 1 - x x + 1 h

Se aplicarmos esse limite direto, vamos cair em uma indeterminação do tipo 0 0 .

Então, agora vamos ter que determinar esse limite!

Passo 2

Então vamos trabalhar um pouco essa fração. Somando 1 e substraindo 1 no numerador (olha o truque sujo!!):

f x = x + 1 - 1 x + 1

E separando em duas frações teremos:

f x = 1 - 1 x + 1

E é essa função que vou substituir no limite agora

Passo 3

Então agora temos que f x = 1 - 1 x + 1 e f x + h = 1 - 1 x + 1 + h , então substituindo na definição temos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ 1 - 1 x + 1 + h - 1 - 1 x + 1   h

Trabalhando o numerador teremos:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + 1 + h - x + 1 x + 1 x + h + 1 h = lim h → 0 ⁡ h x + 1 x + h + 1 h

Podemos reescrever a função assim e simplicar o h ,

= lim h → 0 ⁡ h ( x + 1 ) ( x + h + 1 ) . 1 h = lim h → 0 ⁡ 1 ( x + 1 ) ( x + h + 1 )

Quando h → 0 o valor de f ' ( x ) é:

f ' x = 1 ( x + 1 ) 2

Resposta

f ' x = 1 ( x + 1 ) 2

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