Enunciado

Um hemisfério H e uma porção P de um paraboloide são mostrados. Suponha F um campo vetorial no R 3 cujas componentes tem derivadas parciais contínuas. Explique por quê.

∬ H r o t F . d S = ∬ P r o t R . d S

Passo 1

Essa questão é teórica, mas nada impossível! Vejam, as duas superfícies H e P são orientadas, suaves por partes, cujas fronteiras são formadas pela mesma curva C fechada, que na questão é circunferência x 2 + y 2 = 4 ,   z = 0 (que podemos dizer que é orientada positiva para ambas superfícies). Então, H e P satisfazem a hipótese do Teorema de Stokes, nos levando a concluir que

∬ H r o t F . d S = ∬ C F . d r = ∬ P r o t F . d S

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Verifique que o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → x , y , z =- y i ^ + x j ^ - 2 k ^ S é o cone z 2 = x 2 + y 2 , 0 ≤ z ≤ 4 , com orientação descende
Calcule ∫ C y + s e n x d x + z 2 + c o s y d y + x 3 d z Onde C é a curva r → t = s e n t ,c o s t ,2 t , 0 ≤ t ≤ 2 π . (Sugestão: observe que C está na superfície z = 2 x y )
Usar o teorema da divergência para calcular a integral da superfície dada. ∬ S x 2 d y d z + y 2 d z d x + z 2 d x d y Sendo S a superfície exterior do tetraedro delimitado pelos planos coordenados e
Usar o teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada ∮ C x 2 + 2 y 3 d x + x y 2 d y + z 2 + 1 3 d z sendo C a circunferência x = a cos ⁡ t ,y = a s e nt ,z = 2 ,0 ≤ t ≤ 2 π .