Enunciado

A sequência de Fibonacci foi definida na Seção 11.1 pelas equações

f 1 = 1   ,           f 2 = 1   ,           f n = f n - 1 + f n - 2           n ≥ 3

Mostre que cada uma das afirmações a seguir é verdadeira.

(a) 1 f n - 1 f n + 1 = 1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1

(b) ∑ n = 2 ∞ 1 f n - 1 f n + 1 = 1

(c) ∑ n = 2 ∞ f n f n - 1 f n + 1 = 2

Passo 1

Fala aí meus amores! Vocês conhecem a sequência de Fibonacci???

Os dois primeiros termos da sequência são 1:

f 1 = 1

f 2 = 1

E qualquer outro termo é a soma dos dois anteriores:

f n = f n - 1 + f n - 2

Então a gente fica com algo mais ou menos assim:

( 1 ,   1 ,   2 ,   3 ,   5 ,   8 ,   13 ,   … )

Como essa sequência começa com termos positivos e todos os termos seguintes são a soma dos dois anteriores, podemos concluir que todos os termos são positivos. Além disso, também tiramos disso que a sequência é crescente.

Agora pra fazer as provas que precisamos, temos que partir de um dos lados de cada equação e fazer as transformações necessárias até chegar no que temos do outro lado. Bora lá?

Passo 2

(a) 1 f n - 1 f n + 1 = 1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1

Pra mostrar a afirmação, vamos partir do lado direito da equação e tentar chegar no lado esquerdo:

1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1

Temos que:

f n = f n - 1 + f n - 2

Portanto, pra achar f n + 1 , substituímos n por n + 1 na equação acima:

f n + 1 = f n + f n - 1

Agora essa última no lado direito da equação que queremos provar:

1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1 = 1 f n - 1 f n - 1 f n ( f n + f n - 1 )

Igualando denominadores:

1 f n - 1 f n - 1 f n f n + f n - 1 = f n + f n - 1 - f n - 1 f n - 1 f n f n + f n - 1 = f n f n - 1 f n f n + f n - 1

Simplificando f n :

f n f n - 1 f n f n + f n - 1 = 1 f n - 1 f n + f n - 1

Agora relembrando que f n + 1 = f n + f n - 1 , trocamos o termo entre parênteses no denominador:

1 f n - 1 f n + f n - 1 = 1 f n - 1 f n + 1

E chegamos no lado esquerdo da equação. Provamos!

Passo 3

(b) ∑ n = 2 ∞ 1 f n - 1 f n + 1 = 1

Aqui podemos usar o que aprendemos no item anterior:

1 f n - 1 f n + 1 = 1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1

Substituindo:

∑ n = 2 ∞ 1 f n - 1 f n + 1 = ∑ n = 2 ∞ 1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1

E podemos reescrever esse somatório como limite da soma, com n até o infinito:

= lim n → ∞ ⁡ 1 f 1 f 2 - 1 f 2 f 3 + 1 f 2 f 3 - 1 f 3 f 4 + 1 f 3 f 4 - 1 f 4 f 5 + … + 1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1

Se você reparar bem o segundo termo de cada parênteses é igual ao primeiro termo do parênteses seguinte. Então cancelamos quase tudo e ficamos apenas com o primeiro e o último termos:

= lim n → ∞ ⁡ 1 f 1 f 2 - 1 f n f n + 1

Como vimos no passo 1, todos os termos são positivos e a sequência é crescente então

l i m n → ∞ f n = l i m n → ∞ f n + 1 = ∞  

E o enunciado deu que f 1 = f 2 = 1 . Logo:

lim n → ∞ ⁡ 1 f 1 f 2 - 1 f n f n + 1 = 1 f 1 f 2 - 0 = 1 1   .   1 = 1

Ufa! Provamos!

Passo 4

(c) ∑ n = 2 ∞ f n f n - 1 f n + 1 = 2

De novo usaremos o que aprendemos no item (a):

1 f n - 1 f n + 1 = 1 f n - 1 f n - 1 f n f n + 1

Substituindo:

∑ n = 2 ∞ f n f n - 1 f n + 1 = ∑ n = 2 ∞ f n f n - 1 f n - f n f n f n + 1

Simplificando f n :

∑ n = 2 ∞ 1 f n - 1 - 1 f n + 1

Assim, como no item (b), reescrevemos o somatório assim:

= lim n → ∞ ⁡ 1 f 1 - 1 f 3 + 1 f 2 - 1 f 4 + 1 f 3 - 1 f 5 + 1 f 4 - 1 f 6 + … + 1 f n - 1 - 1 f n + 1

E novamente conseguimos cancelar vários termos, mas dessa vez, eles se repetem 2 parênteses depois. Repara que o termo 1 f 3 aparece no primeiro e no terceiro parênteses. E os únicos que não conseguimos cancelar são:

lim n → ∞ ⁡ 1 f 1 + 1 f 2 - 1 f n - 1 f n + 1

Substituindo os valores então:

lim n → ∞ ⁡ 1 f 1 + 1 f 2 - 1 f n - 1 f n + 1 = 1 + 1 - 0 - 0 = 2

Chegamos no resultado!

Resposta

Demonstração.

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