Enunciado

Seja C uma curva suave e fechada que está no plano x + y + z = 1 . Mostre que a integral de linha

∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z

depende só da área da região fechada por C e não da forma de C ou sua localização no plano.

Passo 1

Primeiramente, pessoal, vamos reescrever essa integral de linha!

∫ C z d x - 2 x d y + 3 y d z = ∫ C z i - 2 x j + 3 y k d x i + d y j + d z k = ∫ C F . d r

O teorema de Stokes nos diz que

∫ C F . d r = ∬ S r o t ( F ) . d S

Onde C é a fronteira da superfície orientada no sentido anti-horário. Seja S   parte do plano x + y + z = 1 . Por definição, temos que:

r o t F = ∂ R ∂ y - ∂ Q ∂ z i + ∂ P ∂ z - ∂ R ∂ x j + ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y k

Sabendo que F = z i - 2 x j + 3 y k . Portanto,

r o t F = 3 - 0 i + 1 - 0 j + - 2 - 0 k = 3 i + j - 2 k

Passo 2

Vamos calcular essa integral. Notemos antes uma pequena coisa:

∫ C F . d r = ∬ S r o t F . d S

Aqui, temos que d S = n d S .

∫ C F . d r = ∬ S r o t F . n d S

Como S é parte do plano x + y + z = 1 . Daqui nós temos que o vetor normal n é:

n = 1 3 ( i + j + k )

Assim, na integral temos:

∫ C F . d r = 1 3 ∬ S ( 3 i + j - 2 k ) ( i + j + k ) d S

∫ C F . d r = 1 3 ∬ S 3 + 1 - 2 d S

∫ C F . d r = 2 3 ∬ S d S = 2 A 3

Pronto, como queríamos demonstrar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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