Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.8 - Ex. 16
Seja uma curva suave e fechada que está no plano . Mostre que a integral de linha
depende só da área da região fechada por e não da forma de ou sua localização no plano.
Passo 1
Primeiramente, pessoal, vamos reescrever essa integral de linha!
O teorema de Stokes nos diz que
Onde é a fronteira da superfície orientada no sentido anti-horário. Seja parte do plano . Por definição, temos que:
Sabendo que . Portanto,
Passo 2
Vamos calcular essa integral. Notemos antes uma pequena coisa:
Aqui, temos que .
Como é parte do plano . Daqui nós temos que o vetor normal é:
Assim, na integral temos:
Pronto, como queríamos demonstrar!
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)
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