Enunciado

Hipocicloide - Quando um círculo rola dentro de um círculo fixo, qualquer ponto P na circunferência do círculo que rola descreve uma hipocicloide. Seja x 2 + y 2 = a 2 o círculo fixo, seja b o raio do círculo que rola, e seja A ( a , 0 ) a posição inicial do ponto P traçado. Encontre equações paramétricas para a hipocicloide, utilizando como parâmetro o ângulo u a partir do eixo x positivo até a reta que une os centros dos círculos. Em particular, se b = a 4 , assim como na figura a seguir, mostre que a hipocicloide é a astroide

x = a cos 3 ⁡ θ ,     y = a sen 3 ⁡ θ

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

A equação que descreve a posição do ponto P no eixo x

x = a - b cos ⁡ ( θ ) - b c o s ( ϕ )

Nós podemos simplificar da seguinte forma

x = a - b cos ⁡ θ - b cos ⁡ a - b b θ = a - a 4 cos ⁡ θ - a 4 cos ⁡ a - a 4 a 4 θ

Depois de substituir b por a / 4 , este é o resultado, mas ainda precisa de alguns ajustes.

x = 3 4 a cos ⁡ θ - 1 4 a cos ⁡ 3 θ

Vamos pensar na situação, como 3 θ = 2 θ + θ , podemos fazer a seguinte manipulação

x = 3 4 a cos ⁡ θ - 1 4 a cos ⁡ 2 θ + θ

Passo 2

Agora, vamos trabalhar na simplificação da expressão acima, podemos considerar que cos ⁡ 3 θ = cos ⁡ 2 θ cos ⁡ ( θ ) - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ ( θ ) , com isso, temos que

x =   3 4 a cos ⁡ θ - 1 4 a cos ⁡ 2 θ cos ⁡ θ - sen ⁡ 2 θ sen ⁡ θ  

Manipulando um pouco mais,

x =   3 4 a cos ⁡ θ - 1 4 a ( 2 cos 2 ⁡ θ - 1 ) cos ⁡ θ - 2 s e n ( θ ) c o s ⁡ ( θ ) sen ⁡ θ

podemos obter isso após alguns cálculos com a etapa anterior

x = a cos 3 ⁡ ( θ )

Passo 3

Se baseando na geometria da figura dada no enunciado, obtemos que

y = A P = B C + D P

E com isso,

y = a - b sen ⁡ ( θ ) + b sen ⁡ ( ϕ )

O mesmo que ao provar a equação paramétrica para x.

ϕ = a - b a θ

E com isso, y é igual a

y = 3 4 a sen ⁡ ( θ ) + 1 4 a sen ⁡ ( 3 θ )

De forma análoga,

y = a sen 3 ⁡ θ

Resposta

x = a cos 3 ⁡ ( θ )

y = a sen 3 ⁡ ( θ )

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