Enunciado

A hipotenusa de um triângulo retângulo mede exatamente 10 cm, e um dos ângulos agudos mede 30 ° , com erro possível de ± 1 °

(a) Use diferenciais para estimar os erros nos lados opostos e adjacente ao ângulo medido.

(b) Estime os erros percentuais nos lados.

Passo 1

Se x for o valor exato do ângulo e y a medida do lado estudado do triângulo, para o calculo do tamanho do lado teremos:

y = 10   s e n ( x )

Lembrando que admitimos 10 cm como o valor da hipotenusa, sem nenhuma chance de erro sobre essa medida.

Se d x   for o erro da medição, então o erro propagado ∆ y pode ser aproximado por

∆ y ≈ d y = f ' x d x  

Passo 2

Aplicando isso temos que:

∆ y ≈ d y = 10   c o s ⁡ ( x )   d x  

Substituindo o valor medido do ângulo (30 ° ) nessa equação, e aplicando o erro de medida que está entre ± 1 ° ficamos com:

d y = ± 10 * c o s ⁡ ( 30 ° ) * 1 °

d y = ± 0,151   c m

Passo 3

Para o lado adjacente fazemos o mesmo, mas agora, ao invés de usarmos o lado com 30 ° ,   usamos o de 60 ° .

∆ y ≈ d y = 10   c o s ⁡ ( x )   d x  

Substituindo o valor medido do ângulo (60 ° ) nessa equação, e aplicando o erro de medida que está entre ± 1 ° ficamos com:

d y = ± 10 * c o s ⁡ ( 6 0 ° ) * 1 °

d y = ± 0 , 087   c m

Passo 4

(b) Para a letra b precisamos estimar os erros percentuais dos lados.

Para o erro percentual do lado oposto temos sua media sendo 5cm, uma vez que 10 * s e n 30 = 5 , com erro de ± 0,151   c m ,   logo temos:

± 0,151 5 = 0,0 302 = ± 3,02 %

Já para o erro percentual do lado adjascente teremos como medida do lado 8,66   c m , uma vez que 10 * s e n ( 60 ) = 8,66032 . Seu erro calculamos como sendo de ± 0,087   c m

Ficaremos então com:

± 0,087 8,66032 = 0 , 0100 = ± 1 %

Resposta

a   ± 0,151   e   ± 0,087 b   ± 3 %   e   ± 1 %

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Compare Δ y e d y para os valores dados de x e d x = Δ x . Então esboce um diagrama como o da figura 6, mostrando o segmento de reta com comprimentos d x , d x e Δ y . y = 16 x ,x = 4 ,d x = - 1
Use o método de Newton para aproximar a raiz indicada da equação com precisão de seis casas decimais.A raiz positiva de 2 cos ⁡ x = x 4
Use o método de Newton para encontrar todas as soluções da equação corrija até seis casas decimais. 20 . ln ⁡ x = 1 x - 3
(a) Explique como sabemos que a equação dada deve ter uma raiz no intervalo especificado. 1 4 .- 2 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 11 x = 0 [ 3 ,4 ]
(b) Use o método de Newton para aproximar a raiz correta para seis casas decimais. 14 . - 2 x 5 + 9 x 4 - 7 x 3 - 11 x = 0 [ 3 ,4 ]