Enunciado

Um homem com 6   p é s de altura está caminhando a uma taxa de 3   p é s por segundo em direção a um poste de iluminação, com 18   p é s de altura (ver figura a seguir).

(a) A que taxa está variando o comprimento da sombra?

(b) Com que rapidez está se movendo a extremidade de sua sombra?

Passo 1

Pra começar vamos chamar a distância do homem até o poste, em um instante qualquer de x , e o tamanho da sombra do homem de s .

Agora vamos usar uma pitadinha de geometria hehe. Tá vendo que o triângulo formado pelo homem e pela sombra é igualzinho o triângulo formado pelo poste e pelo chão? Obviamente numa versão menor. Então, podemos falar que esses dois triângulos são semelhantes, então a razão entre os comprimentos dos seus lados é igual:

6 s = 18 s + x

PS: poderíamos chegar nessa mesma conclusão olhando pra tangente do ângulo comum aos dois triângulos.

Mexendo um pouco nessa expressão:

1 s = 3 s + x

s = 3 s + x

- 2 s = 3 x

Passo 2

Pra relacionar as taxas podemos derivar essa expressão em relação ao tempo:

d d t ( - 2 s ) = d d t ( 3 x )

- 2   d s d t = 3 d x d t                             e q u a ç ã o   ( 1 )

Passo 3

(a)

Já que queremos saber a que taxa está variando o comprimento da sombra, estamos interessados no d s / s t .

Mas o enunciado nos diz que o homem está caminhando a uma taxa de 3   p é s por segundo, isso nos diz que:

d x d t =   - 3   p é s / s

Lembrando que como ele está se aproximando do poste, x está DIMINUINDO e por isso o sinal de menos.

Se substituirmos esses dados na equação (1):

- 2   d s d t = 3 d x d t

- 2   d s d t = 3 - 3

d s d t = 9 2 = 4 , 5   p é s / s

Repare que encontramos d s s t > 0 , o que faz bastante sentido já que o comprimento da sombra está aumentando 😊

Passo 4

(b)

Pra essa vamos ter que pensar um pouco no que está acontecendo.

Você concorda que o comprimento da sombra aumenta porque as duas extremidades dela estão se movendo? Uma extremidade fica no pé do homem e se move com a velocidade dele, e a outra fica naquela quina ali (e é nessa que estamos interessados).

Pensando nisso podemos falar que a velocidade com que a sombra aumenta nada mais é com que a soma das velocidades de suas extremidades, só que uma das extremidades tá ali no pé do homem e anda com a mesma velocidade dele:

d s d t = v e l o c i d a d e   d a   e x t r e m i d a d e + v e l o c i d a d e   q u e   o   h o m e m   a n d a

4,5 = v e l o c i d a d e   d a   e x t r e m i d a d e + 3

v e l o c i d a d e   d a   e x t r e m i d a d e = 1,5   p é s / s

Resposta

(a) 4,5   p é s / s

(b) 1,5   p é s / s

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →