Enunciado

Um homem começa a andar para o norte a 1,2 m/s a partir de um ponto P . Cinco minutos depois uma mulher começa a andar para o sul a 1,6 m/s de um ponto a 200   m a leste de   P . A que taxa as pessoas estão se distanciando 15 minutos depois de a mulher começar a andar?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a taxa na qual as duas pessoas estão se distanciando, sabendo que um homem caminha para o norte a 1,2   m / s a partir de um ponto P e que cinco minutos depois, a mulher caminha para o sul a 1,6   m / s , de um ponto a 200   m a leste de P .

Para entender melhor o que o problema ta dizendo, vamos desenhar um esqueminha:

Vamos combinar uma coisa, N e L são positivos e S e O são negativos, beleza?! Além disso, como o homem anda para o norte N a 1,2 m / s a partir do ponto P , podemos escrever a posição do homem da seguinte forma:

H ( t ) = P + ( 1.2 t     ,   0 )

A mulher anda para o sul, S a 1,6   m / s a partir do ponto ( P + 200 ;   0 ) , mas ela só começa a caminhar 5 min depois do homem, então podemos escrever:

M t = P + ( - 1.6 t - 5     ,   200 )

M t = P + ( - 1.6 t - 5     ,   200 )

Com essas coordenadas, conseguimos calcular a distância entre os dois pontos, obtendo uma expressão para a distância D em função do tempo t . Então, vamos derivar essa expressão para encontrar a taxa na qual os dois estão de distanciando.

Vamos lá!

Passo 2

A distância do homem à mulher é sempre o módulo da diferença entre suas posições, ou seja:

D = | H t - M t |

Substituindo as coordenadas que vimos no passo 1 , temos:

D = P + 1.2 t     ,   0 - P + - 1.6 t - 5     ,   200

Podemos cortar o P :

D = | 1.2 t     ,   0 - - 1.6 t - 5     ,   200 |

Abrindo - 1,6 ( t - 5 ) :

D = | 1.2 t     ,   0 - 8 - 1.6 t     ,   200 |

Agora vamos subtrair:

D = | 1.2 t - 8 + 1.6 t         ,   200 |

Chegamos nisso aqui:

D = | 2,8 t - 8         ,   200 |

Passo 3

Agora aplicando o teorema de Pitágoras, temos que a distância entre esses pontos pode ser dada por:

D = 2,8 t - 8 2 + 200 2

Chegamos em:

D = 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064

Ou, elevando ambos os lados ao quadrado:

D 2 = 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064

Passo 4

Queremos a taxa na qual os dois estão se distanciando 15 minutos depois da mulher começar a andar, então precisamos derivar a distância em relação ao tempo. Mas nesse caso a melhor forma de fazer isso é usando derivação implícita!

Então bora lá!

d D 2 d t = d d t 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064

Calculando:

2 D ∙ D ' ( t ) = 15,68 t - 44,8

Isolando D ' ( t ) , temos:

D ' ( t ) = 15,68 t - 44,8 2 D

Mas, vimos no passo anterior que:

D = 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064

Então, substituindo em D ' ( t ) , teremos:

D ' t = 15,68 t - 44,8 2 7,84 t 2 - 44,8 t + 40064

Passo 5

Só que o problema quer saber quanto é essa taxa 15 minutos depois de a mulher começar a andar , mas ela começa a andar 5 minutos depois do homem, logo temos que considerar 20 minutos!

A velocidade esta em m / s então vamos transformar esse tempo para segundos:

t = 20 ∙ 60 = 1200   s

É esse valor que vamos substituir na equação da taxa, para obter:

D ' 1200 = 15,68 1200 - 44,8 2 7,84 1200 2 - 44,8 1200 + 40064

D ' 1200 = 2,8   m / s

Logo, a taxa que as pessoas estão se distanciando é 2,8 m/s.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

2,8   m / s

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