Enunciado

Se uma bola de neve derrete de forma que a área da superfície decresce a uma taxa de 1   c m 2 / m i n , encontre a taxa segundo a qual o diâmetro decresce quando o diâmetro é 10 cm.

(a) Quais são as quantidades dadas no problema?

(b) Qual é a incógnita?

(c) Faça um desenho da situação para qualquer instante t .

(d) Escreva uma equação que relacione as quantidades.

(e) Termine a resolução do problema.

Passo 1

Opa, bora resolver esse problema! Aqui a gente tem uma bola de neve e ela esta derretendo a uma taxa de:

d A d t = - 1   c m 2 / m i n

Queremos:

d D d t = ? ? ,   D ( t ) = 10 c m

Mas não é só isso, temos vários itens pra responder que vão nos ajudar a chegar na resposta final! Bora lá?!

Passo 2

Item a - Os dados que o problema nos dá:

Isso daqui a gente já respondeu ali em cima!

d A d t = - 1   c m 2 / m i n

D ( t ) = 10 c m

Passo 3

Item b: O que que o problema tá pedindo:

Também respondemos isso no Passo 1! A incógnita é a taxa de variação do diâmetro, ou seja, d ' t .

Passo 4

Item c -Vamos fazer um esqueminha do problema:

A bola de neve nada mais é do que um tipo de esfera, então:

Passo 5

Item d: Aqui a gente deve relacionar os dados que a gente tem com o que a gente quer:

Como a situação descreve a área da superfície de um objeto esférico, temos:

A t = 4 π r 2 = 4 π D t 2 2

A t = 4 π D t 2 4

A t = π D 2

Passo 6

Item e: Agora a gente finaliza!

Primeiramente, vamos derivar a equação implicitamente em função do tempo para obter a relação entre taxas de variação:

d d t A = d d t π D 2

π é uma constante, então ela sai da derivada:

d d t A = π d d t D 2

Agora derivando:

d A d t = 2 D π d D d t

Isolando a derivada do diâmetro:

d D d t = 1 2 D π d A d t

Agora é só substituir os dados:

d D d t = 1 2 10 π - 1

d D d t = - 1 20 π c m / m i n

Logo, a taxa de variação do diâmetro é de - 1 20 π   c m / m i n , o sinal negativo significa que está decrescendo, como esperado.

Resposta

A taxa de variação do diâmetro é de - 1 20 π   c m / m i n , o sinal negativo significa que está decrescendo, como esperado.

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