Enunciado

Um bote é puxado em direção ao ancoradouro por uma corda que está atada na proa do bote e que passa por uma polia sobre o ancoradouro (colocada   1 m mais alto que a proa). Se a corda for puxada a uma taxa de 1 m/s, quão rápido se aproxima o bote do ancoradouro quando ele estiver a 8   m dele?

Passo 1

Para entendermos o problema, devemos visualizar bem o que é proposto. Se chamarmos o comprimento da corda entre a proa do bote e a polia do ancoradouro de x e a distância do barco ao ancoradouro de y , temos a seguinte situação:

O que iremos fazer nessa atividade é equacionar o problema visto acima, e utilizarmos nossos conhecimentos de calculo, principalmente de derivadas como taxa de variação, para resolvermos essa atividade.

Passo 2

Como a situação descreve um triângulo retângulo, então, a relação pode ser feita por Pitágoras:

x 2 = 1 + y 2

Derivando implicitamente em função do tempo ( t ) temos:

2 x ∙ x ' t = 2 y ∙ y ' ( t )

x ∙ x ' t = y ∙ y ' t

Passo 3

Se a corda for puxada a uma taxa de 1 m/s, o comprimento da corda entre a proa do bote está decrescendo nessa mesma taxa, então x ' t = - 1 , e quando o bote estiver a 8 metro do ancoradouro ( y = 8 ) então o valor de x é:

x 2 = 1 + 8 2

x = 65

Agora é só substituir na derivada:

x ∙ x ' t = y ∙ y ' t

65 ∙ - 1 = 8 ∙ y ' t

y ' t = - 65 8

Então a distância do barco ao ancoradouro decresce (por causa do sinal negativo) a uma taxa de 65 8 m/s.

Resposta

A distância do barco ao ancoradouro decresce a uma taxa de 65 8 m/s.

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