Enunciado

Um homem está sentado em um barco a 1   k m da margem (reta) de um lago. Uma cidade está localizada nessa margem a 1   k m do ponto da margem do lado que está mais próximo do homem. Ele pretende remar em linha reta até um ponto P na margem oposta e depois caminhar o restante ao longo da margem (Figura Ex-58). Para que ponto ele deve remar a fim de chegar a seu destino no menor tempo se ele:

a) pode andar a 8 k m / h e remar a 5 k m / h ?

b) pode andar a 8 k m / h e remar a 6 k m / h ?

Passo 1

a) Então galera, a fim de facilitar nossa visualização vamos desenhar a rota do barco, tudo bem? Teremos algo assim:

Vale ressaltar que os valores foram dados pelo enunciado, ok? Não tem nada de novo aqui! O que temos que determinar aqui é uma expressão para o tempo em que o homem leva para sair do lado e chegar até a cidade, ou seja, para sair do ponto M e chegar até o ponto T . O tempo total será:

t = t 1 + t 2

No qual t 1 é o tempo para ir de M até P e t 2 é o tempo para ir de P até T . Então bora que bora determinar essas equações!

Passo 2

Da cinemática temos que a velocidade média de um corpo é dada da seguinte forma:

v = ∆ S ∆ t

Para t 1 , no qual o homem rema:

t 1 = ∆ S 1 v 1

Substituindo os valores que temos:

t 1 = x 2 + 1 5

Para t 2 , no qual o homem caminha:

t 2 = ∆ S 2 v 2

Substituindo os valores que temos:

t 2 = 1 - x 8

Então o tempo total será:

t x = x 2 + 1 5 + 1 - x 8

Passo 3

Como queremos saber os valores de x para que o tempo seja mínimo, então temos que utilizar os conceitos de cálculo que aprendemos! Derivando nossa função, teremos:

t ' x = 1 5 . 1 2 x 2 + - 1 2 . 2 x - 1 8

t ' x = x 5 x 2 + 1 - 1 8

Igualando a zero:

x 5 x 2 + 1 - 1 8 = 0

8 x = 5 x 2 + 1

Elevando ambos os lados ao quadrado:

64 x 2 = 25 x 2 + 25

39 x 2 = 25

x 2 = 25 39

∴ x = 5 39 ≈ 0,8

Então esse é nosso ponto crítico!

Passo 4

Agora que encontramos nosso ponto crítico, vale ressaltar que nosso intervalo é 0 ,   1 , pois é a distância máxima dos locais dado pelo enunciado! Sendo assim, temos que substituir os valores do intervalo e o ponto crítico que encontramos na nossa função original, a fim de determinarmos o valor de x que minimiza o tempo, se liga:

t 0 = 1 5 + 1 8 = 13 40 ≈ 0,325   h

t 0,8 ≈ 0,281   h

t 1 ≈ 0,282   h

Sendo assim, temos que a distância que minimiza o tempo é:

x = 0,8   k m

Passo 5

b) Para resolvermos essa parte devemos seguir os mesmos passos da letra anterior, galera! A diferença é que ele irá remar a 6 k m / h agora, e não a 5 k m / h . Sendo assim:

t x = x 2 + 1 6 + 1 - x 8

Derivando e igualando a zero:

t ' x = x 6 x 2 + 1 - 1 8

x 6 x 2 + 1 - 1 8 = 0

64 x 2 = 36 x 2 + 36

x 2 = 36 28

∴ x = 6 28 ≈ 1,13

Opa, aqui temos um problema! Conforme vimos no passo 4, nosso intervalo é 0 ,   1 e x = 1,13 está FORA do intervalo! Sendo assim, a distância que minimiza o tempo, de acordo com o que calculamos no passo 4, é:

x = 1   k m

E essa é a nossa resolução, pessoal! 😉

Resposta

a) Distância que minimiza o tempo: x = 0,8   k m ;

b) Distância que minimiza o tempo: x = 1   k m .

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