Enunciado

Dados os pontos A 2 ,   1 e B 5 ,   4 , encontre o ponto P do intervalo 2 ,   5 do eixo x que maximize o ângulo A P B .

Passo 1

Então galera, a fim de facilitar nossa visualização do problema esboçamos os pontos A , B e o ponto P , além dos ângulos e triângulos retângulos formados por esses pontos, ok? O esboço ficou assim ó:

O enunciado pede para que maximizemos o ângulo θ da figura. Para determinarmos uma expressão para θ devemos encontrar as expressões de α e β também, então vamos nessa!

Passo 2

O ângulo θ pode ser expresso da seguinte forma:

θ = π - α + β

θ = π - α - β

Mas quem seriam as expressões de α e β ? Olhando para o triângulo retângulo formado pelo ponto A na figura, temos:

t g   α = 1 x - 2

Logo:

α = a r c   t g   1 x - 2

Agora olhando para o triângulo retângulo formado pelo ponto B na figura, temos:

t g   β = 4 x - 5

Logo:

β = a r c   t g   4 x - 5

Então a expressão de θ será:

θ = π - α - β

θ x = π - a r c   t g   1 x - 2 - a r c   t g   4 x - 5

Que é uma expressão em função de x , como o enunciado pede! Show!

Passo 3

Como queremos maximizar esse ângulo, então vamos utilizar os conceitos que aprendemos no cálculo! Derivando nossa função:

d θ d x = - 1 1 + 1 x - 2 2 . - 1 x - 2 2 - 1 1 + 4 x - 5 2 . - 1 x - 5 2

Simplificando, teremos:

d θ d x = 1 1 + x - 2 2 - 1 4 . 1 1 + 5 - x 2 16 = - 3 x 2 - 2 x - 7 1 + x - 2 2 16 + 5 - x 2

Agora igualando a zero:

- 3 x 2 - 2 x - 7 1 + x - 2 2 16 + 5 - x 2 = 0

A única forma disso resultar em zero é se:

x 2 - 2 x - 7 = 0

Utilizando Bháskara, teremos:

x = - - 2 ± - 2 2 - 4 . 1 . - 7 2 . 1

x 1 = 1 + 2 2

x 2 = 1 - 2 2

E esses são nossos pontos críticos, galera!

Passo 4

Aqui vale ressaltar uma coisa, pessoal. Pela figura do passo 1 temos que nosso intervalo é 2 ,   5 , certo? Então nosso único ponto crítico mesmo será:

x = 1 + 2 2 ≈ 3,83

Mas como fazemos pra saber se esse ponto é, de fato, um valor de x que maximiza nosso ângulo? Se pegarmos um valor menor que 3,83 teremos:

d θ d x > 0

E se pegarmos um valor maior que 3,83 teremos:

d θ d x > 0

Como a derivada passa de crescente para decrescente, isso implica que x = 3,83 é um ponto de máximo mesmo!

E está aí nossa resolução, galera! 😉

Resposta

Ponto: P 1 + 2 2 ,   0 .

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