Enunciado

a. Identifique os extremos locais de cada função nos intervalos dados e informe onde eles ocorrem.

b. Na mesma tela, esboce os gráficos da função e de sua derivada. Comente o comportamento de f em relação aos sinais e valores de f ' .

f x = x 2 - 2 s e n x 2 ,   0 ≤ x ≤ 2 π  

Passo 1

Vamos começar identificando os pontos críticos da função através da derivada primeira.

f x =   x 2 - 2 s e n x 2

f ' ( x ) = 1 2 - 2 cos ⁡ x 2 1 2

f ' x = 1 2 - cos ⁡ x 2

Passo 2

Para achar os pontos críticos, vamos igualar a derivada a zero.

f ' x = 1 2 - cos ⁡ x 2 = 0

cos ⁡ x 2 = 1 2

(o ângulo em que o cosseno é 1 2 é π 3 )...

x 2 = π 3

x = 2 π 3

Achamos o nosso ponto crítico.

Vamos fazer nossa análise de sinal dentro do nosso intervalo:

Passo 3

Como a função era decrescente antes de 2 π 3   e crescente depois, temos um ponto de mínimo local em 2 π 3 .

E temos que: f 0 = 0 ; f 2 π 3 = π 3 - 3 ; f 2 π = π

Então, temos pontos de máximo local em 0,0 ,   ( 2 π ,   π ) e ponto de mínimo em 2 π 3 , π 3 - 3 .

Passo 4

b) Gráficos:

Vemos que quando f ' < 0 , a função f é decrescente, e quando f ' > 0 a função é crescente, e também vemos o ponto crítico.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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