Enunciado

Dado o triângulo retângulo de catetos 3 e 4, determine o retângulo de maior área nele inscrito, de modo que um dos lados esteja contido na hipotenusa.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para resolver essa questão vamos primeiro desenhar o nosso triângulo retângulo, com um retângulo dentro dele. É importante notar que a hipotenusa é 5. A figura fica assim então:

Agora que entendemos a nossa figura vamos achar uma equação para a área do retângulo.

Podemos tirar das relações de proporcionalidade de triângulos retângulos que (para o triangulo inferior formado pelos catetos d e w ):

d = 3 4 w

(Para o triangulo superior):

w = 3 4 5 - L - d

Portanto:

w = 3 4 5 - L - 3 4 w

25 12 w = 5 - L → L = 5 - 25 12 w  

Agora temos os tamanhos da base e do lado do retângulo, assim a área é:

A = L   w

A = 5 - 25 12 w     w

Agora vamos maximizar essa função!

Passo 2

Para sabermos o maior valor possivel da área, vamos deriva-la e igualar a derivada a zero:

A ' w = 5 - 25 6 w = 0

Logo,

w = 6 5

Agora sabemos quanto vale w , vamos achar o nosso L . Lembrando que

L = 5 - 25 12 w

Substituindo,

L = 5 - 25 12 6 5 = 5 2

Portanto, esse retângulo é definido pelos lados, w = 6 / 5 e L =   5 / 2

Resposta

Os lados do retângulo são w = 6 / 5 e L =   5 / 2

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