Enunciado

Represente graficamente a equação seguindo os passos do procedimento para construção de gráficos da página 237. Inclua as coordenadas de quaisquer pontos extremos e absolutos locais e pontos de inflexão.

y = x 1 5

Passo 1

Primeiramente, vemos que a função é um polinômio, logo seu domínio é R .

Vamos calcular a derivada primeira e segunda da função:

y ' = 1 5 x - 4 5

y ' ' = - 4 25 x - 9 5

Passo 2

Vamos encontrar os pontos críticos agora, que são onde a derivada é zero.

y ' = 1 5 x - 4 5 = 0 → x = 0  

Porém, observe que a função não é derivável em 0, pois: y ' = 1 5 x 4 5 , logo x=0 não pertence ao domínio da derivada (não podemos zerar denominador).

Então, a função não apresenta pontos de máximo e mínimo.

E y 0 = 0 , então a função passa pela origem.

Passo 3

Vamos agora ver os intervalos de crescimento da função. A derivada é uma função exponencial, em que o expoente do numerador é par, logo é sempre positiva (o coeficiente também é positivo).

y ' = 1 5 x - 4 5 = 1 5 x 1 5 4 > 0   ∀ x   ≠ 0

Então, a função é crescente em todo o domínio com x ≠ 0 .

Vejamos a concavidade...

Nossa derivada segunda deu y ' ' = - 4 25 x - 9 5 . Novamente, a função é exponencial, só que agora o expoente do numerador é ímpar, então: x - 9 5 > 0 → x > 0 , porém o coeficiente é negativo, então vai trocar o sinal... Então, a concavidade é para cima em ( - ∞ ,   0 ) e para baixo em ( 0 ,   ∞ ) .

O ponto de inflexão é (0,0).

Passo 4

Juntando as informações, temos o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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