Identifique a região de R^2 onde as funções dadas são diferenciáveis:

e) z = sen(2xy / raiz(x^2 + y^2))

Passo 1

Devemos analisar as derivadas parciais de z em relação a x e y :

∂ z ∂ x = 2 y ⋅ x 2 + y 2 - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 ⋅ 2 x ⋅ 2 x y x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2 =

= 2 y x 2 + y 2 - 2 x 2 y x 2 + y 2 x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2

E:

∂ z ∂ y = 2 x ⋅ x 2 + y 2 - 1 2 x 2 + y 2 - 1 2 ⋅ 2 y ⋅ 2 x y x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2 =

= 2 x x 2 + y 2 - 2 x y 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 cos ⁡ 2 x y x 2 + y 2

As derivadas não são diferenciáveis em (0,0), mas nos demais pontos as derivadas parciais de z em relação a x e y são contínuas, z é diferenciável em R 2 - { 0,0 } .

Resposta

z é diferenciável em R 2 - { 0,0 } .

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