Enunciado

Identifique a superfície cuja a equação é dada

rho^2 (s e n^2 varphi - 4 cos^2 varphi) = 1

Passo 1

A superfície dada está em coordenadas esféricas, para tentarmos identificar quem é essa superfície podemos passa-lá para as coordenadas retangulares.

Para isso temos que:

x = rho cos theta s e n varphi

y = rho s e n theta s e n varphi

z = rho cos varphi

Temos também que:

rho = sqrt(x^2 + y^2 + z^2)

Passo 2

Vamos então começar manipulando a equação em coordenadas esféricas da superfície:

Para isso precisamos somar e subtrair rho^2 cos^2 varphi do primeiro termo, fazer este passo não altera em nada a expressão, mas facilitará na hora de passar para coordenadas retangulares.

rho^2 (s e n^2 varphi - 4 cos^2 varphi) + rho ² cos^2 varphi - rho^2 s e n^2 varphi = 1

Simplificando:

rho^2 ( s e n^2 varphi + c o s^2 varphi - 5 cos^2 varphi ) = 1

rho^2 (1 - 5 cos^2 varphi) = 1

rho^2 - rho^2 5 cos^2 varphi = 1

Passando para coordenadas retangulares:

x^2 + y^2 + z^2 - 5 z^2 = 1

x^2 + y^2 - 4 z^2 = 1

Passo 3

Portanto está equação corresponde a de um hiperboloide que cresce ao longo do eixo z

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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