Enunciado

Identifique o tipo de seção cônica a qual a equação é dada e encontre os vértices e os focos:

29. 3 x 2 - 6 x - 2 y = 1

Passo 1

Como só há um termo elevado ao quadrado, a equação é de uma parábola (não há y elevado ao quadrado). Precisamos agora escrevê-la na forma padrão, para isso, vamos somar 3 em ambos os lados:

3 x 2 - 6 x - 2 y + 3 = 1 + 3

Tirando fator comum para completarmos quadrado para x:

3 x 2 - 2 x + 1 - 2 y = 4

Completando:

3 ( x - 1 ) 2 - 2 y = 4

Passando y para direita e dividindo tudo por 3:

( x - 1 ) 2 = 1 3 ( 2 y + 4 )

Tirando fator comum novamente para o lado direito:

( x - 1 ) 2 = 2 3 ( y + 2 )

Agora podemos calcular o valor de p:

4 p = 2 3

p = 1 6

Passo 2

Como tanto x quanto y estão sendo somados ou subtraídos de algum valor na equação da parábola, então ela está transladada tanto em x quanto em y, o vértice terá as seguintes coordenadas:

0 + 1 ,   0 - 2 = ( 1 ,   - 2 )

Passo 3

E o foco, pela sua definição (ele também estará transladado, já que toda a parábola está):

0 + 1 ,   p - 2 = 1 ,   - 11 6

Resposta

v é r t i c e : ( 1 ,   - 2 )

f o c o : 1 ,   - 11 6

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