Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

43. Hipérbole, vértices ± 3,0 ,   focos ( ± 5,0 )

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus vértices e focos para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma hipérbole, e hipérboles tem equações no formato x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1 .

Note que essa é uma hipérbole com eixo maior no eixo Y , podemos ver isso pelas coordenadas do foco, que mudam apenas em x .

O centro da hipérbole fica na metade do caminho entre seus vértices, como aqui temos V 1 = - 3,0   e   V 2 = ( 3,0 ) , nosso centro será ( 0,0 ) . Portanto ( x 0 , y 0 ) = ( 0,0 )

Sabemos que os focos de uma hipérbole com eixo maior em Y são f = ( ± c , 0 ) , e os vértices são V = ( ± a , 0 ) , então sabemos que c = 5 e a = 3 .

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 + b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 + b 2

25 = 9 + b 2

b 2 = 16

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 - y - y 0 2 b 2 = 1

x 2 9 - y 2 16 = 1

Resposta

x 2 9 - y 2 16 = 1

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1.8. Escreva uma equação polar de uma cônica com o foco na origem e com os dados fornecidos.3. Hipérbole, excentricidade 1,5 , diretriz y = 2 .
Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico:11. x 2 2 + y 2 4 = 1
Encontre os vértices e os focos da elipse e esboce seu gráfico:12.x 2 36 + y 2 8 = 1
Identifique o tipo de seção cônica a qual a equação é dada e encontre os vértices e os focos:26. 4 x 2 = y + 4
Encontre o vértice, o foco, e a diretriz da parábola e esboce o seu gráfico.7. y 2 + 6 y + 2 x + 1 = 0