Enunciado

Encontre uma equação para a cônica que satisfaz as condições dadas

40. Elipse, focos 0 , - 1   ( 8 , - 1 ) ,   vértices 9 , - 1

Passo 1

Nessa questão, nos foi dado o nome da cônica, seus focos e vértices para econtrarmos sua equação.

Bom, sabemos que é uma elipse, e elipses tem equações no formato x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 .

Note que essa é uma elipse com eixo maior no eixo X , podemos ver isso pelas coordenadas dos focos e vértice, que mudam apenas em x .

O centro da elipse fica na metade do caminho entre seus vértices, aqui nós ganhamos as coordenadas de apenas um vértice, mas nem tudo está perdido, porque o centro fica também na metade do caminho entre seus focos, então podemos achar eles para encontra-lo:

f 1 = ( 0 , - 1 ) , f 2 = 8 , - 1 , então C = ( 4 , - 1 )

a é a distância do centro da elipse até um dos vértices, nesse caso temos a = 9 - 4 = 5

Podemos chamar de c a distância do centro da elipse ao foco, então teremos c = 4

Também sabemos que existe uma relação entre a , b   e   c , tal que c 2 = a 2 - b 2 , então trocando os valores, encontramos:

c 2 = a 2 - b 2

16 = 25 - b 2

b 2 = 9

Com isso tudo, podemos montar nossa equação:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

x - 4 2 25 + y + 1 2 9 = 1

Resposta

x - 4 2 25 + y + 1 2 9 = 1

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