Enunciado

Uma ilha está num ponto A a 6 km do ponto mais próximo B , numa praia reta. Uma mulher na ilha deseja ir a um ponto C , a 9 km do ponto B . A mulher pode alugar um barco por $15 o quilômetro e navegar até um ponto P entre B e C e então alugar um carro a um custo de $12 por quilômetro e chegar a C por uma estrada reta. Ache o percurso mais barato de A até C .

Passo 1

Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:

  1. Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
  2. Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a 0 e os valores onde ela não existe.
  3. A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.

Passo 2

Temos um problema bem geométrico, vamos começar desenhando o que o problema nos dá para visualizar melhor o problema. Vamos ficar com esse triangulo:

Pense que cada quadradinho representa 1km. Vamos denominar o ponto P arbitrariamente entre B e C , assim:

Vamos chamar a distância B P de x e tentar encontrar a equação que relaciona o caminho total e o preço de cada transporte. Perceba que temos um triangulo retângulo A B P com um ângulo reto em B . Então A P será a hipotenusa do triangulo e por Pitágoras podemos escrevê-la como:

A P = x 2 + A B 2

Mas sabemos que A B = 6 . Então:

A P = x 2 + 36

Essa é a distância que a mulher andará de barco, para calcular o preço total, ficamos com 15 x 2 + 36 , já que custa $ 15 por quilômetro de barco.

Passo 3

Agora vamos para a parte terrestre. A distância que sobra para a mulher andar de carro é o trecho P C , que podemos escrever como 9 - x . Já que 9   é a distância total e x é o ponto onde ela desceu do barco e vai pegar o carro.

P C = 9 - x

E como custa $ 12 por quilômetro de carro, o preço na terra fica 12 9 - x .

Agora vamos somar os dois preços e teremos a equação do preço total, que é o que queremos!

P x = 15 x 2 + 36 + 12 9 - x

Agora sim! Podemos derivar a função e encontrar o seu mínimo igualando a sua derivada a 0 ou verificando onde ela não existe.

Passo 4

Derivando P :

d P d x = 15 1 2 x 2 + 36 ∙ 2 x - 12

d P d x = 15 x x 2 + 36 - 12

Perceba que a derivada não existe em x = 6 . Vamos guardar esse ponto para comparar depois a função original. Igualando a derivada a 0 :

15 x x 2 + 36 - 12 = 0

15 x x 2 + 36 = 12

15 x = 12 x 2 + 36

15 x 2 = 12 x 2 + 36 2

225 x 2 = 144 x 2 + 36

81 x 2 = 5184

x 2 = 64

x = 8

Podemos ignorar o resultado x = - 8 , pois x pertence ao intervalo 0 ,   9

Passo 5

Então temos quatro pontos para analisar a função: os dois extremos do intervalo, x = 6 e x = 8 .

P 0 = 15 0 2 + 36 + 12 9 - 0 = 198

P 9 = 15 9 2 + 36 + 12 9 - 9 ≈ 162.25

P 6 = 15 6 2 + 36 + 12 9 - 6 ≈ 163.28

P 8 = 15 8 2 + 36 + 12 9 - 8 = 162

Então o preço mais barato é quando x = 8 . Então o percurso deve ser de A até P e de P até C , onde P fica 8 km abaixo de B .

Resposta

de A até P e de P até C , onde P fica 8 km abaixo de B .

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