Enunciado

Minimizando o perímetro Qual é o menor perímetro possível para um retângulo cuja área é 16 p o l 2 , e quais são suas dimensões?

Passo 1

O Perímetro e a área de um retângulo são dadas por:

P = 2 x + 2 y

A = x ⋅ y

Passo 2

Primeiro iremos transformar nossas equações de duas variáveis em uma equação de uma variável. Como temos que A= 16 p o l 2 , podemos pegar a expressão:

16 = x ⋅ y ⇒ y = 16 x

Substituindo isso na equação do perímetro temos que:

P = 2 x + 32 x

Passo 3

Para achar o menor perímetro possível, podemos derivar a expressão, e igualar a 0. Assim a derivada ficará:

d P d x = 2 d x d x + 32 d d x 1 x = 0

2 + 32 - 1 x 2 = 0

- 32 x 2 = - 2

- 2 x 2 = - 32

2 x 2 = 32

x 2 = 16 ⇒ x = 4

Passo 4

Substituindo no perímetro e na expressão da área, temos que:

y = 16 4 = 4

P = 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4

P = 16   p o l

Resposta

P = 16   p o l

y = 4

x = 4

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