Enunciado

A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente proporcional à potência ao quadrado da distância da fonte. Se duas fontes de luz, uma três vezes mais que a outra, são colocadas a 4   m de distância, onde deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de forma a receber o mínimo de iluminação?

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente o local onde deve ser colocado o objeto sobre a reta entre as fontes de forma a receber o mínimo de iluminação. Pra isso, nós sabemos que a iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente proporcional à potência ao quadrado da distância da fonte.

Além disso, nós sabemos que essas fontes são colocadas a 4 metros de distância uma da outra e que uma delas é três vezes mais forte que a outra.

O esboço do enunciado fica assim:

O que nós vamos fazer é encontrar uma expressão para essa iluminação em função da distância x e minimizar essa função, através da derivação e de seus pontos críticos.

Vamos lá!

Passo 2

“A iluminação de um objeto por uma fonte de luz é diretamente proporcional à potência ao quadrado da distância da fonte.” Traduzindo essa frase temos a seguinte fórmula:

I x = 3 k x 2 + k 4 - x 2  

Onde 0 ≤ x ≤ 4 , que é a distância total.

Passo 3

Agora para minimizar I , vamos começar derivando a nossa função:

I ' x = - 6 k x 3 + 2 k 4 - x 3

E igualando esse resultado a zero, temos:

- 6 k x 3 + 2 k 4 - x 3 = 0

6 k 4 - x 3 = 2 k x 3

3 4 - x 3 = x ³

Tirando a raiz cúbica nos dois lados:

3   3 4 - x = x

4 3 3 - 3 3 x = x

x + 3 3 x = 4 3 3

Colocando x em evidência:

x 1 + 3 3 = 4 3 3

x = 4 3 3 1 + 3 3

x ≅ 2,36   m

Esse número está entre 0 e 4 , então o objeto deve ser colocado a uma distância de 2,36   m da fonte de maior iluminação e a 1,64   m da fonte de menor iluminação.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

Deve ser colocado a 2,36   m da fonte de maior iluminação, e a 1,64   m da fonte de menor iluminação.

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