Enunciado

Use um sistema de computação algébrica para achar o volume exato do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno da reta especificada.

y = s e n ²   x ,     y = 0 ,                 0 ≤ x ≤ π ,                         e m   t o r n o   d e   y = - 1

Passo 1

Bom galera, antes de começar vamos lembrar como se calcula o volume de um sólido de rotação:

V = ∫ a b A x . d x

Vamos desenhar a figura do sólido, ok?

Primeiro vamos calcular a área da secção transversal. Mas como?

Esta área será a área da função y = s e n 2 x até a reta y = - 1 menos a reta y = 0 até a reta y = - 1 .

E não vamos esquecer do π ! Então:

A = π s e n 2 x - - 1 2 - 0 - - 1 2

A = π s e n 2 x + 1 2 - 1

A = π s e n 4 x + 2 s e n 2 x + 1 - 1

A = π s e n 4 x + 2 s e n 2 x

Então, usando na integral do volume:

V = ∫ 0 π π s e n 4 x + 2 s e n 2 x . d x = π ∫ 0 π s e n 4 x + 2 s e n 2 x . d x

V = π ∫ 0 π s e n 4 x . d x + 2 ∫ 0 π s e n 2 x . d x

Já descobrimos o volume, agora é só aplicar em um sistema de computação algébrica:

V = 11 8 π ²

Resposta

V = 11 8 π ²

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