Enunciado

A imagem da curva   γ t = 2 t , t 2 , z t   está contida no gráfico de z = f x , y . Sabe-se que f 2,1 = 3 , ∂ f ∂ x 2,1 = 1   e ∂ f ∂ y 2,1 = - 1 .

Determine a equação da reta tangente a γ no ponto γ ( 1 ) .

Passo 1

A equação da reta tangente é x , y , z = γ t + λ γ ' t ,   λ ∈ R .

Para a nossa questão,

x , y , z = γ 1 + λ γ ' 1 ,   λ ∈ R

  γ 1 = x , y , z t = 2,1 , z 1 = 2,1 , f x , y = 2,1 , 3

  γ ' t = 2,2 t , d z d t

z = f 2 t , t 2 = > d z d t = ∂ f ∂ x 2 t , t 2 d x d t + ∂ f ∂ y 2 t , t 2 d y d t .

Assim,

d z d t = 2 ∂ f ∂ x 2 t , t 2 + 2 t ∂ f ∂ y 2 t , t 2

Substituindo t = 1,

d z d t | t = 1 = 2 ∂ f ∂ x 2,1 + 2 ∂ f ∂ y 2,1

2 ⋅ 1 + 2 ⋅ - 1 = 0

Segue que

  γ ' 1 = 2,2 , 0

A equação da reta tangente é, então,

x , y , z = 2,1 , 3 + λ 2,2 , 0 , λ ∈ R .

Resposta

x , y , z = 2,1 , 3 + λ 2,2 , 0 , λ ∈ R .

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