Enunciado

A inclinação da reta tangente num ponto ( x , y ) de uma curva é 10 - 4 x e o ponto ( 1 , - 1 ) está na curva. Ache uma equação da curva.

Passo 1

Sabemos que a inclinação da reta tangente a uma curva de equação y = f ( x ) num ponto ( x , y ) é a derivada f ' ( x ) de y em relação a x naquele ponto. Sabemos também que se temos a derivada de uma função podemos chegar à função aplicando a operação inversa da diferenciação, a integração. Devemos então integrar y = 10 - 4 x .

Passo 2

Temos então:

∫ 10 - 4 x d x = 10 x - 4 x 2 2 + C = 10 x - 2 x 2 + C

Temos então a equação da função da forma y = - 2 x 2 + 10 x + C . Mas a equação ainda não está completa, devemos descobrir quem é o termo C .

Passo 3

Sabemos que o ponto ( 1 , - 1 ) está na reta, então ele deve satisfazer a equação y = - 2 x 2 + 10 x + C :

- 1 = - 2 ⋅ 1 2 + 10 ⋅ 1 + C ⇒ - 1 = - 2 + 10 + C

⇒ C = - 1 + 2 - 10 = - 9

Agora temos a equação completa:

y = - 2 x 2 + 10 x - 9

Resposta

y = - 2 x 2 + 10 x - 9

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