Calcule ∫ x 4 6 4 x 3 d x como ∫ u 6 d u e como ∫ 4 x 27 d x e compare os resultados.

Passo 1

Pro primeiro método, fazemos a substituição u = x 4 , que nos dá d u = 4 x 3 d x , e ficamos então com a integral assim:

∫ x 4 6 4 x 3 d x = ∫ u 6 d u = u 7 7 + C = x 4 7 7 + C

Passo 2

Para o segundo método, vamos simplesmente resolver a potência e o produto para obter apenas uma expressão de x :

∫ x 4 6 4 x 3 d x = ∫ x 4 ⋅ 6 ⋅ 4 x 3 d x = ∫ 4 x 24 ⋅ x 3 d x = ∫ 4 x 27 d x = 4 x 28 28 + C = x 28 7 + C  

Passo 3

Comparando as duas maneiras, percebemos que o cálculo pelo método (a) foi mais rápido pois se deu em termos de x 4 , não havendo necessidade de desenvolver a expressão. A resposta do primeiro método foi x 4 7 7 + C , que veio mais rapidamente que a do segundo que foi x 28 7 + C   .

Resposta

∫ x 4 6 4 x 3 d x = x 4 7 7 + C = x 28 7 + C  

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