Enunciado

A instrução para a integral ∫ 0 2 ( t 3 + t )   d t , têm duas partes, uma para a regra do trapézio e uma para a regra de Simpson.

Passo 1

Para a realização desta questão é pertinente que relembremos a regra do trapézio e a regra de Simpson para integrais.

A regra do trapézio utiliza de trapézios no lugar de retângulos para estimar uma integral definida f, de a até b. Além disso, calculamos T no lugar da integral f, sendo T dado por:

T = ∆ x 2 (y0 + 2y1 + 2y2 + ... + 2yn-1 + yn)

A regra de Simpson utiliza um sistema de troca parecido, no entanto, são usadas parábolas. E para o seu cálculo apresentamos a letra S no lugar da integral f, sendo S dado por:

S = ∆ x 3   (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + ... + 2yn-2 + 4yn-1 + yn)

OBS: O tamanho da malha (comprimento do subintervalo), é relacionado por: ∆ x = (b – a)/n

Passo 2

| ET | ≤   ( b - a ) 12 m( ∆ x ) 2.

(a) ∆ x = ( 2   –   0 ) 4 = 1 2

T = 1 / 2 2 (0 + 2 * 5 8 + 2 * 2 + 2 * 39 8 + 10)

T = 1 4 (0 + 5 4 + 4 + 39 4 + 10)

T = 1 4 (25) = 25 4

f(t) = t3 + t => f’(t) = 3 t 2 + 1 => f”(t) = 6t;

Logo o M = f”(t5) = 6*2 = 12 e | ET | ≤   ( 2 - 0 ) 12 12 1 2 2 = 1 2

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f”(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na segunda derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ET | ( p e l a   f ó r m u l a   | ET | = ∫ a b f ( x )   d x – T).

(b) ∫ 0 2 t 3 + t dt

= t 4 4 + t 2 2 0 2

        =   2 4 4 + 2 2 2 - 0 3 4 + 0 2

= 6 +   0 = 6

| ET | = ( ∫ 0 2 t 3 + t   d t ) – T = 6 - 25 4 = -   1 4 = 1 4

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E T |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 1 / 4 6 * 100 ≈ 4%

Passo 3

| ES | ≤   ( b - a ) 180 m( ∆ x ) 4.

(a) ∆ x = ( 2   –   0 ) 4 = 1 2

S = 1 / 2 3 (0 + 4 * 5 8 + 2 * 2 + 4 * 39 8 + 10)

S = 1 6   (0 + 5 2   + 4 + 39 2 + 10)

S = 1 6 (36) = 6

f(t) = t 3 + t => f’(t) = 3 t 2 + 1 => f”(t) = 6t => f(3)(t) = 6 => f(4)(t) = 0

Logo o M = 0 e | ES | = 0

OBS : O limite superior é um valor do “pior caso”, de modo que | f(4)(x) | ≤ M em [a,b]. E para determiná-lo substituímos o xi que levaria ao maior valor correspondente na quarta derivada.

Para a letra (b), devemos calcular a integral de forma direta (aplicada na fórmula tradicional), e encontrar | ES | ( p e l a   f ó r m u l a   | ES | = ∫ a b f x   d x – S).

(b) ∫ 0 2 t 3 + t dt

= t 4 4 + t 2 2 0 2

        =   2 4 4 + 2 2 2 - 0 3 4 + 0 2

= 6 +   0 = 6

| ES | = ( ∫ 0 2 t 3 + t   d t ) – S = 6 - 6 = 0

Em relação a letra (c), precisamos somente aplicar a fórmula administrada.

(c) | E S |   ( V a l o r   r e a l ) * 100 = 0 6 * 100 = 0%

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Resolver os exercícios 11.1, 11.2, 11.3, 11.4 usando a Regra 1 3 de Simpson.
Determinar h de modo que a regra 3 8 de Simpson forneça o valor de Com erro inferior a 0.5 × 10 − 3 .
Achar o número mínimo de intervalos que se pode usar para, utilizando a regra 1 3 de Simpson obter:Com 4 casas decimais corretas.
Considere a integral:Mostre que o resultado obtido pela regra 1 3 de Simpson com h = 0.5 é surpreendente próximo do resultado exato. Explique por que isso acontece. (sugestão: analise o erro).
Nas integrais do exercício anterior com quantas divisões do intervalo, podemos esperar obter erros menores que 10 − 5 ?