Enunciado

Integrais duplas impróprias podem geralmente ser calculadas de

maneira semelhante a integrais impróprias de uma variável. A primeira iteração das integrais impróprias a seguir é feita como se elas

fossem integrais próprias. Avaliamos, então, uma integral imprópria

de uma variável tomando limites apropriados, como na Seção 8.7.

Calcule as integrais impróprias nos Exercícios 69-72 como integrais

iteradas.

∫ 0 ∞   ∫ 0 ∞   x e - ( x + 2 y ) d x d y

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, iremos calcular uma integral dupla imprópria de maneira similar a que se resolve uma integral própria definida.

Passo 2

Inicialmente, vamos considere a integral: ∫ 0 ∞   ∫ 0 ∞   x e - ( x + 2 y ) d x d y

Note que os limites de integração são impróprios, sendo assim, iremos inserir uma variável b que tende ao infinito para integrar em x .

Passo 3

Integrando em x , teremos:

  ∫ 0 ∞     e - 2 y l i m b → ∞   - x e - x - e - x 0 d y   ∫ 0 ∞     e - 2 y l i m b → ∞   - b e - b - e - b - - ( 0 ) e - ( 0 ) - e - ( 0 ) d y   ∫ 0 ∞     e - 2 y l i m b → ∞   - b e - b - e - b + 1 d y

Perceba que, na medida em que o expoente b tende ao infinito, o resultado da potência tende a zero, portanto:

∫ 0 ∞   e - 2 y d y

Passo 4

Agora, vamos integrar em y:

1 2 l i m b → ∞   e - 2 y b 2

Substituindo os limites de integração, temos que:

1 2 l i m t → ∞   1 e 2 b - e 0 1 2

Resposta

Portanto, o resultado da integral imprópria é: 1 2 .

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