Enunciado

Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo

cilindro z = x2 e inferiormente pela região delimitada pela parábola y = 2 – x2 e pela reta y = x no plano xy.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Neste exercício, nosso objetivo é resolver a integral e determinar o volume da região delimitada pela curva z = x 2 , pela curva y = 2 - x 2 e pela reta y = 3 x no plano xy. Assim, de posse dessas informações, acompanhe a resolução!

Passo 2

Perceba que a intersecção das curvas y = x e y = 2 - x 2 ocorre nos pontos ( - 2,0 ) e ( 1,0 ) , para obter isto, basta igualar as expressões y = x e y = 2 - x 2 , e resolver a equação do segundo grau dada por: x 2 + x - 2 = 0 .

Passo 3

Sendo assim, o volume desejado é dado pela integral dupla:

V = ∫ - 2 1   ∫ x 2 - x 2   x 2 d y d x

Integrando em y:

V = ∫ - 2 1   x 2 [ y ] r 2 - x 2 d x .

Agora, fazendo diversos rearranjos na expressão acima, chegaremos a:

V = ∫ - 2 1   x 2 2 - x 2 - x d x

V = ∫ - 2 1   2 x 2 - x 4 - x 3 d x

Passo 4

E , integrando em x , teremos:

V = 2 x 3 3 - x 5 5 - x 4 4 - 2 1

Aqui, substituindo os limites de integração e rearranjando, teremos

V = 2 3 - 1 5 - 1 4 - - 16 3 + 32 5 - 16 4 . 

Resolvendo mais uma vez:

V = 189 60 = 63 20 . 

Resposta

V = 63 20 . 

Exercícios de Livros Relacionados

Utilize coordenadas polares para determinar o volume do sólido dado.Limitado pelo paraboloide z = 1 + 2 x 2 + 2 y 2 e pelo plano z = 7 no primeiro octante
Encontre o volume de uma região delimitada superiormentepelo paraboloide z = x2 + y2 e inferiormente pelo triângulodelimitado pelas retas y = x, x = 0 e x + y = 2 no plano xy.
Encontre o volume do sólido cuja base seja a região no planoxy que é delimitada pela parábola y = 4 – x2 e pela reta y = 3x,enquanto o topo do sólido é delimitado pelo plano z = x + 4.
Encontre o volume do sólido no primeiro octante delimitadopelos planos coordenados, pelo cilindro x2 + y2 = 4 e pelo plano z + y = 3.