Enunciado

Quais das integrais impróprias convergem e quais divergem?

∫ - ∞ ∞ 2 e x + e - x d x  

Passo 1

Fala ai!!

Como temos um dos limites de integração - ∞ , estamos diante de uma integral imprópria.

Quando temos ∫ a ∞ f ( x )   d x teremos que calcular o limite. Assim:

lim a → ∞ ⁡ ∫ a b f x   d x

Se o limite existir, isto é, for um número finito dizemos que a integral é convergente. Se ao calcular o limite encontramos ± ∞ , então dizemos que é divergente.

Então vamos calcular a integral dada:

∫ 2 e x + e - x d x = 2 ∫ 1 e x + e - x   d x  

Vamos resolver usando substituição. Vamos chamar u = e x , logo d u = e x d x →   d u e x = d x

= 2   ∫ 1 u + e - x   d u e x

2 ∫ d u e x (   u + e - x )

= 2   ∫ d u u . e - x +   u 2

Observe que u . e - x = e x .   e - x = e 0 = 1

= 2 ∫ d u u 2 + 1

= 2   a r c tan ⁡ u

= 2   a r c tan ⁡ e x

Passo 2

Agora, vamos aplicar o limite:

lim x → ∞ ⁡ 2   a r c tan ⁡ e x = π

lim x → - ∞ ⁡ 2   a r c tan ⁡ e x = - π

= π - - π = 2 π

Portanto, a integral é convergente

Resposta

Convergente

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