Enunciado

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Como vimos na seção 3.8, uma substância radioativa decai exponencialmente: a massa no tempo t é m t = m 0   e k t , onde m ( 0 ) é a massa inicial e k , uma constante negativa. A vida média M de um átomo na substância é

M = - k ∫ 0 ∞ t e k t   d t

Para o isótopo radioativo de carbono-14, usado para datação, o valor de k é - 0,000121 . Calcule a vida média de um átomo de carbono-14.

Passo 1

Basicamente, o que a questão pede é que encontremos M que é dado pela integral acima. Note que se trata de uma integral imprópria, então primeiro vamos calcular a integral

∫ 0 x t e k t d t

e depois fazer x → ∞ .

Para resolver essa integral, vamos usar integração por partes:

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Passo 2

Vamos chamar u = t e d v = e k t d t . Assim, d u = d t e v = e k t / k . Portanto,

∫ 0 x t e k t d t = t e k t k 0 x - 1 k ∫ 0 x e k t d t = t e k t k - e k t k 2 0 x

Logo,

∫ 0 x t e k t d t = e k x k x - 1 k - 0 - 1 k 2 = 1 k 2 + e k x k x - 1 k

Passo 3

Precisamos ver o que acontece com o termo e k x k x - 1 k quando x → ∞ . Vamos tentar calcular esse limite:

lim x → ∞ ⁡ e k x k x - 1 k = 1 k lim x → ∞ ⁡ x - 1 k e - k x

Como k < 0 , quando x → ∞ , - k x → ∞ , de modo que e - k x → ∞ . Temos então uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e podemos aplicar a regra de L’Hospital:

lim x → ∞ ⁡ e k x k x - 1 k = 1 k lim x → ∞ ⁡ 1 - k e - k x = 0

Assim,

∫ 0 ∞ t e k t   d t = 1 k 2

Logo,

M = - k ∫ 0 ∞ t e k t   d t = - k ⋅ 1 k 2 = - 1 k = - 1 ( - 0,000121 ) ≈ 8260

Resposta

8260

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