Enunciado

A interpretação geométrica do teorema do valor médio é que para um valor adequado de c no intervalo aberto ( a ,   b ) , a reta tangente à curva y = f ( x ) no ponto c ,   f c é paralela à secante que passa pelos pontos a ,   f a e b ,   f b . Ache um valor de c que satisfaça a conclusão do teorema do valor médio, faça um esboço do gráfico no intervalado fechado [ a ,   b ] e coloque no gráfico as retas tangente e secante.

f x = s e n ( x ) ,   a = 0 ,   b = π 2

Passo 1

Como f é uma função trigonométrica, ela será contínua para todo x real, em particular será continua no intervalo 0 , π 2 . Mesma justificativa garante f ser derivável em 0 , π 2 . Logo, pelo teorema do valor médio, existe c ∈ 0 , π 2 tal que:

f ' c = s e n π 2 - s e n ( 0 ) π 2 - 0 ⇒

f ' c = 1 - 0 π 2 ⇒

f ' c = 2 π

Pela definição de derivada temos:

f ' x = c o s ⁡ ( x )

Assim:

f ' c = c o s ⁡ ( c ) = 2 π ⇒

c o s ⁡ ( c ) = 2 π ⇒

sec ⁡ c = π 2 ⇒

c = 0,88

Passo 2

Substituindo este valor de c na função f temos:

f 0,88 = s e n ⁡ ( 0,88 ) = 0 , 55

Temos também:

f a = f 0 = s e n ( 0 ) = 0

f b = f π 2 = s e n π 2 = 1

Queremos encontrar a reta que seja tangente a f passando pelo ponto ( 0,88 ,   0,55 ) e que seja paralela à reta que passa por ( 0 ,   0 ) e   π 2 ,   1 . A reta que que passa por esses pontos terá inclinação:

m = 1 - 0 π 2 - 0 ⇒

m = 1 π 2 ⇒

m = 2 π

Queremos encontrar a reta que passa por ( 0,88 ,   0,55 ) e tenha inclinação 2 π . Assim:

y - ( 0,88 ) = 2 π x - 0,55 ⇒

y = 2 x π + 0,53

Resposta

Portanto, c = 0,88 satisfaz o teorema do valor médio. Esboço da função f no intervalo 0 , π 2 , das retas tangente e secante a f em x = 0,88 :

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