Enunciado

  1. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo indicado;
  2. Teste as três condições (i), (ii) e (iii) das hipóteses do teorema de Rolle e determine quais entre elas são satisfeitas;
  3. Se as três condições de (b) forem satisfeitas, determine um ponto no qual existe uma reta tangente horizontal.

f x = x 3 4 - 2 x 1 4 ; [ 0 ,   4 ]

Passo 1

Vamos substituir alguns pontos do intervalo [ 0 ,   4 ] na função f e observar seu comportamento a fim de auxiliar no esboço do gráfico da função.

→ x = 0

f 0 = 0 3 4 - 2 0 1 4 = 0 - 0 = 0

→ x = 4

f 4 = 4 3 4 - 2 4 1 4 = 2 2 3 4 - 2 2 2 1 4 = 2 6 4 - 2.2 2 4 = 2 6 4 - 2 6 4 = 0 - 0 = 0

Fazendo o esboço de f ( x ) no intervalo [ 0 ,   4 ] temos:

Passo 2

Como f é a subtração de funções contínuas, temos que f é contínua em todo seu domínio, em particular também será continua em [ 0 ,   4 ] .

Como x 3 4 e - 2 x 1 4 são deriváveis em ( 0 ,   4 ) , temos que f também é derivável neste intervalo.

Observe que f 0 = f 4 = 0 , logo f satisfaz as três condições do teorema de Rolle. Assim, existe c ∈ ( 0 ,   4 ) tal que f ' c = 0 .

Passo 3

Pelas regras de derivação temos:

f ' x = 3 4 x 3 4 - 1 - 2 . 1 4   x 1 4 - 1 ⇒

f ' x = 3 4 x - 1 4 - 1 2 x - 3 4 ⇒

f ' x = 3 x - 1 4 4 - x - 3 4 2

Como queremos f ' c = 0 , temos:

3 c - 1 4 4 - c - 3 4 2 = 0 ⇒

3 c - 1 4 4 = c - 3 4 2 ⇒

2.3 c - 1 4 = 4 c - 3 4

6 c - 1 4 c - 3 4 = 4 ⇒

c - 1 4 c - 3 4 = 4 6 ⇒

c - 1 4 + 3 4 = 2 3 ⇒

c 2 4 = 2 3 ⇒

c 1 2 = 2 3 ⇒

c 1 2 2 = 2 3 2 ⇒

c 2 2 = 2 2 3 2 ⇒

c = 4 9

Substituindo 4 9 em f temos:

f 4 9 = 4 9 3 4 - 2 4 9 1 4 ⇒

f 4 9 = 4 9 1 4 . 4 9 2 4 - 2 . 4 9 1 4 ⇒

f 4 9 = 4 9 1 4 . 4 9 2 4 - 2 ⇒

f 4 9 = 4 9 1 4 . 4 9 1 2 - 2 ⇒

f 4 9 = 4 9 1 4 . 2 3 - 2 ⇒

f 4 9 = - 4 3 4 9 1 4 ⇒

f 4 9 = - 4 3 4 3 2 1 4 ⇒

f 4 9 = - 4 3 4 1 4 3 2 1 4 ⇒

f 4 9 = - 4 1 + 1 4 3 1 + 1 2 ⇒

f 4 9 = - 4 5 4 3 3 2 ⇒

f 4 9 = - 4 4 4 3 3

Resposta

As três condições do teorema de Rolle são satisfeitas e no ponto 4 9 ,   - 4 4 4 3 3 tem-se uma reta tangente horizontal.

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