Enunciado

Em qual intervalo a função h (x) = x^((- 2)/(3)) é contínua ?

Passo 1

Vendo a palavra continuidade e dando uma folheada no livro, achei uma parada massa que vai ser importante para a gente usar aqui. É um teorema que diz que uma função é continua em um ponto c quando

underset(x -> c)(lim) f (x) = f ( c )

Como a questão quer saber em quais intervalos a função é contínua, vamos considerar um ponto c qualquer e estipular condições para que funcione a igualdade, fechou? E assim, a gente vai tá determinando o intervalo.

Partxiu!

Queremos que

underset(x -> c)(lim) h (x) = f ( c ) ⟹ underset(x -> c)(lim) h (x) = c^((- 2)/(3))

Perceba que

underset(x -> c)(l i m) x^((- 2)/(3)) = c^((- 2)/(3)) = (1)/(c^((2)/(3)))

E como o nosso limite explodiria caso c = 0 , e nesse caso não satisfaria a igualdade,

c^((- 2)/(3)) = f ( c )

Desde que c != 0 .

Então, f é contínua, para qualquer c != 0 . Ou seja, (- oo , 0) uu ( 0 , oo )

Resposta

(- oo , 0) uu ( 0 , oo )

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É verdade que uma função contínua que nunca é zero em um intervalo nunca muda de sinal nesse intervalo? Justifique sua resposta.
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