Enunciado

Qual das seguintes funções cresce mais rapidamente do que x 2 quando x → ∞ ? Qual cresce à mesma taxa que x 2 ? E qual cresce mais lentamente?

  1. x 2 + x
  2. 10 x 2
  3. x 2 e - x
  4. log 10 ⁡ x 2
  5. x 3 - x 2
  6. 1 10 x
  7. ( 1,1 ) x
  8. x 2 + 100 x

Passo 1

Bom, o enunciado pele para verificar quais funções crescem mais rapidamente que x 2 quando x → ∞ ? Quais crescem à mesma taxa que x 2 ? E quais crescem mais lentamente?

Para isso, vamos precisar lembrar da definição das taxas relativas de crescimento

Taxas de crescimento quando x → ∞

Sejam f ( x ) e g ( x ) positivas para um x suficientemente grande.

  1. f cresce mais rapidamente do que g quando x → ∞ se
  2. lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   ∞

    ou, de modo equivalente, se

    lim x → ∞ ⁡ g ( x ) f ( x ) =   0

    Dizemos também que g cresce mais lentamente do que f quando x → ∞ .

  3. f e g crescem à mesma taxa quando x → ∞

lim x → ∞ ⁡ f ( x ) g ( x ) =   L

onde L é finito e positivo.

  1. O item a, pede para verificar a função x 2 + x   em relação a x 2 . Vamos verificar:
  2. lim x → ∞ ⁡ x 2 +   x x 2

    Como temos uma indeterminação vamos aplicar a regra de L’Hospital:

    lim x → ∞ ⁡   1 + 1 x 3 2   =     1

    Logo, o item a, cresce à mesma taxa que x 2

    Passo 2

  3. Vamos calcular o limite:
  4. lim x → ∞ ⁡ 10 x 2 x 2

    =   lim x → ∞ ⁡ 10 = 10

    Logo, o item b, cresce à mesma taxa que x 2

    Passo 3

  5. Vamos verificar:
  6. lim x → ∞ ⁡ x 2 e - x x 2

    Vamos aplicar a raiz em todo o limite:

    lim x → ∞ ⁡ 1 e x = 0

    Logo, o item c, cresce mais lentamente

    Passo 4

  7. Vamos verificar:
  8. lim x → ∞ ⁡ log 10 ⁡ x 2 x 2

    lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x 2 ln ⁡ 10   x 2 =   1 ln ⁡ 10  

    lim x → ∞ ⁡ 2 ln ⁡ x   x 2 =   2 ln ⁡ 10

    lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 x = 1 ln ⁡ 10

    lim x → ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

    Portanto cresce mais lentamente

    Passo 5

  9. Vamos verificar:
  10. lim x → ∞ ⁡ x 3 - x 2 x 2 =   lim x → ∞ ⁡ ( x - 1 ) = ∞  

    Logo, o item e, cresce mais rapidamente

    Passo 6

  11. Vamos verificar:
  12. lim x → ∞ ⁡ 1 10 x x 2 =   lim x → ∞ ⁡ 1 10 x x 2 = 0

    Logo, o item f, cresce mais lentamente

    Passo 7

  13. Vamos verificar:
  14. lim x → ∞ ⁡ ( 1,1 ) x x 2 =   lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1,1 1,1 x 2 x =   lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1,1 2 1,1 x 2 = 0

    Logo, o item g, cresce mais rapidamente

    Passo 8

  15. Verificando, temos:

lim x → ∞ ⁡ x 2 + 100 x x 2 =   lim x → ∞ ⁡ 1 + 100 x = 1  

Portanto, o item h, cresce a mesma taxa

Resposta

Crescem mais lentamente: c,d,f

Crescem mais rapidamente: e,g

Crescem à mesma taxa: a,b,h

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