Enunciado

3. Inverter a ordem de integração:

d) int_(- 1)^3 int_0^(- x^2 + 2 x + 3) f (x , y) d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

{[[0 <= y <= - x^2 + 2 x + 3],[- 1 <= x <= 3]])

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 3

x = - 1

y = 0

y = - x^2 + 2 x + 3

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Na região do tipo 2, teremos o y variando entre os seguintes intervalos:

0 <= y <= 4

Passo 3

Para escrever como uma região do tipo 2, nosso x não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo x , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca em duas partes da parábola invertida. Essas duas bordas, serão justamente meus novos limites. Entretanto, como podemos representar isso em função de y ??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

y = - x^2 + 2 x + 3

y - 3 = - x^2 + 2 x

y - 3 = - (x - 1)^2 + 1

y - 4 = - (x - 1)^2

- y + 4 = (x - 1)^2

= (4 - y)^((1)/(2)) = x - 1

x = 1 ∓ sqrt(4 - y)

Dessa forma, temos:

{[[1 - sqrt(4 - y) <= x <= 1 + sqrt(4 - y)],[0 <= y <= 4]])

Portanto,

int_0^4 int_(1 - sqrt(4 - y))^(1 + sqrt(4 - y)) f (x , y) d x d y

Resposta

int_0^4 int_(1 - sqrt(4 - y))^(1 + sqrt(4 - y)) f (x , y) d x d y

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