3. Inverter a ordem de integração:

d) ∫ - 1 3 ∫ 0 - x 2 + 2 x + 3 f x , y d y d x

Passo 1

Pelos intervalos de integração, temos que:

0   ≤ y ≤ - x 2 + 2 x + 3 - 1 ≤ x ≤ 3

Desses intervalos conseguimos obter 4 informações muito importantes:

x = 3

x = - 1

y = 0

y = - x 2 + 2 x + 3

Desenhando a região, obtemos o seguinte gráfico:

Nesse caso, temos o x variando num intervalo numérico, o que denomina uma região do tipo 1. Logo, precisamos passar para uma região do tipo 2, onde meu y varia em um intervalo numérico.

Passo 2

Na região do tipo 2, teremos o y variando entre os seguintes intervalos:

0 ≤ y ≤ 4

Passo 3

Para escrever como uma região do tipo 2, nosso x não terá mais uma variação numérica. Para obter a nova variação, pegue o gráfico e imagine uma seta indo no sentido positivo do eixo x , da seguinte maneira:

Assim, a seta toca em duas partes da parábola invertida. Essas duas bordas, serão justamente meus novos limites. Entretanto, como podemos representar isso em função de y ??? Calma, podemos obtê-la da seguinte maneira,

y = - x 2 + 2 x + 3

y - 3 = - x 2 + 2 x

y - 3 = - x - 1 2 + 1

y - 4 = - x - 1 2

- y + 4 = x - 1 2

= 4 - y 1 2 = x - 1

x = 1 ∓ 4 - y

Dessa forma, temos:

1 - 4 - y ≤ x ≤ 1 + 4 - y 0 ≤ y ≤ 4

Portanto,

∫ 0 4 ∫ 1 - 4 - y 1 + 4 - y f x , y d x d y

Resposta

∫ 0 4 ∫ 1 - 4 - y 1 + 4 - y f x , y d x d y

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