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Calcule a integral.

∫ a x x 2 - b x d x

Passo 1

Nosso primeiro passo é fatorar o denominador, vamos isolar o menor termo de x , que é o x :

a x x 2 - b x = a x x x - b = a x - b

Pronto, já temos ela no formato pronto, só substituir na integral:

∫ a x x 2 - b x d x = ∫ a x - b d x

Passo 2

Vamos usar a Regra da Substituição, vamos fazer uma mudança de variável para encontrar o valor dessa integral, vemos que temos um   x no denominador, podemos então usar a mudança de variável:

u = x - b

Vamos agora achar diferencial de u , derivando:

d u = 1 - 0   d x = d x

Fazendo a substituição ficamos com:

∫ a x - b d x = ∫ a u d u

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando duas expressões da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ c f x d x = c ∫ f x d x

∫ 1 x d x = ln ⁡ x + C

Agora é só aplicar:

∫ a u d u = a ∫ 1 u d u = a ln ⁡ u + C

Calma, não terminou ainda, não esqueça de voltar para a variável x , é só substituir de volta o que você usou no começo:

∫ a x x 2 - b x d x = ∫ a x - b d x = ∫ a u d u = a ln ⁡ u + C = a ln ⁡ x - b + C

Resposta

∫ a x x 2 - b x d x = a ln ⁡ x - b + C

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