Enunciado

Escreva as formas de decomposição em frações parcias da função (como no Exemplo 7 ). Não determine os valores numéricos dos coeficientes.

  1. x 4 x 3 + x x 2 - x + 3
  2. 1 x 6 - x 3

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema temos duas frações e nosso objetivo é reescrever essas frações em frações parciais.

x 4 x 3 + x x 2 - x + 3   e   1 x 6 - x 3

Lembra como fazemos isso?

A ideia de decompor uma função em frações parciais é que dessa forma podemos transformar uma função relativamente complexa em somas de funções mais simples.

Veja só!

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é fatorar o denominador, vamos isolar o menor termo de x , que é o x e achar as raízes do outro polinômio:
  2. x 4 x 3 + x x 2 - x + 3 = x 4 x x 2 + 1 x 2 - x + 3 = x 3 x 2 + 1 x 2 - x + 3

    Agora vamos fatorar o denominador, achando as raízes de x temos:

    Usando Bhaskara:

    x = - b ± b 2 - 4 a c 2 a = - - 1 ± - 1 2 - 4 ∙ 1 ∙ 3 2 ∙ 1 = + 1 ± - 13 2

    Poxa, achamos o delta negativo, então não teremos raízes reais.

    Aqui temos o Caso I o Caso III, onde o denominador é um produto de fatores lineares distintos, e onde contém fatores quadráticos irredutíveis sem repetição:

    x 3 x 2 + 1 x 2 - x + 3 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 - x + 3

    Tranquilo até aqui?

    Passo 3

  3. Nosso primeiro passo é fatorar o denominador, vamos isolar o menor termo de x , que é o x 3 :

1 x 6 - x 3 = 1 x 3 x 3 - 1

Agora da pra ver que 1 é raiz de x 3 - 1 , então vamos dividir ele por x - 1 :

Assim ficamos com:

1 x 6 - x 3 = 1 x 3 x 3 - 1 = 1 x 3 x - 1 x 2 + x + 1

Aqui temos o Caso I, Caso II e o Caso III, onde o denominador é um produto de fatores lineares distintos, que se repetem, e onde contém fatores quadráticos irredutíveis sem repetição, vamos usar a fórmula então:

1 x 3 x - 1 x 2 + x + 1 = A x + B x 2 + C x 3 + D x - 1 + E x + F x 2 + x + 1

E aí! entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

  1. x 4 x 3 + x x 2 - x + 3 = A x + B x 2 + 1 + C x + D x 2 - x + 3
  2. 1 x 6 - x 3 = A x + B x 2 + C x 3 + D x - 1 + E x + F x 2 + x + 1
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