42. Calcule a integral

∫ s e n   2 θ     s e n   6 θ   d θ

Passo 1

Vamos reescrever a nossa integral pra vê se da uma melhorada nas ideias, usando a identidade com um nome muito chique, chamada próstafarese

s e n   a   s e n   b = 1 2 cos ⁡ a - b - cos ⁡ a + b

Logo, nossa integral fica assim:

∫ s e n   6 θ     s e n   2 θ   d θ = ∫ 1 2 c o s   4 θ - c o s 8 θ     d θ

Separando as integrais,

∫ 1 2 c o s   4 θ - c o s 8 θ     d θ = 1 2 ∫ cos ⁡ 4 θ   d θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 8 θ   d θ

Pela tabela,

1 2 ∫ cos ⁡ 4 θ   d θ - 1 2 ∫ cos ⁡ 6 θ   d θ   = 1 8 s e n   4 θ - 1 16 s e n   8 θ + C

Resposta

∫ s e n   2 θ     s e n   6 θ   d θ = 1 8 s e n   4 θ - 1 16 s e n   8 θ + C

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